La ecuación de una parábola con vértice fuera del origen describe una curva que no tiene su punto más bajo o alto (vértice) en el punto (0,0) del plano cartesiano. En cambio, su vértice se encuentra en un punto (h,k).
Para entenderla mejor, la ecuación canónica es:
- Parábola horizontal: (y - k)² = 4p(x - h)
- Parábola vertical: (x - h)² = 4p(y - k)
Donde (h, k) son las coordenadas del vértice y 'p' es la distancia focal, es decir, la distancia entre el vértice y el foco de la parábola.
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Paso a paso:
- Identifica el vértice (h, k): El problema debe proporcionarte las coordenadas del vértice. Por ejemplo, si el vértice es (2, -3), entonces h = 2 y k = -3.
- Determina la dirección de la parábola: ¿Abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha? Esto influirá en la forma de la ecuación. Si te dan el foco, puedes ver la dirección del eje.
- Calcula 'p': Si conoces las coordenadas del foco (o la directriz), puedes calcular la distancia entre el vértice y el foco (o vértice y la directriz). Esta distancia es 'p'. Por ejemplo, si el foco está en (2, 1), entonces p = 1 - (-3) = 4.
- Sustituye los valores en la ecuación: Una vez que tengas h, k y p, sustitúyelos en la ecuación correspondiente (horizontal o vertical). Si la parábola abre hacia arriba, usaremos la forma vertical.
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (1, 2) y foco en (1, 4). Aquí, h = 1, k = 2. Como el foco está arriba del vértice, la parábola abre hacia arriba. 'p' es la distancia entre el vértice y el foco, que es 4 - 2 = 2. Por lo tanto, la ecuación es (x - 1)² = 4 * 2 * (y - 2), que simplifica a (x - 1)² = 8(y - 2).
Las parábolas tienen muchas aplicaciones prácticas. Una de ellas es en el diseño de antenas parabólicas, donde se busca enfocar las ondas electromagnéticas en un solo punto (el foco). También se utilizan en la trayectoria de proyectiles, permitiendo calcular el alcance y la altura máxima.
