Ecuacion De Descarga De Un Capacitor

La ecuación de descarga de un capacitor describe cómo la carga, el voltaje y la corriente disminuyen con el tiempo cuando un capacitor se descarga a través de una resistencia.

Aquí te mostramos el proceso paso a paso para obtener esta ecuación:

Paso 1: Circuito RC

Considera un circuito simple con un capacitor (C) y una resistencia (R) conectados en serie. El capacitor está inicialmente cargado con un voltaje V₀. Al cerrar el interruptor, el capacitor comienza a descargarse a través de la resistencia. La corriente fluirá desde el capacitor a través de la resistencia.

Paso 2: Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK)

Aplicamos la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) a este circuito. La suma de las caídas de voltaje alrededor del bucle es igual a cero. Esto significa que el voltaje del capacitor (V_C) más el voltaje de la resistencia (V_R) debe ser igual a cero: V_C + V_R = 0. Recuerda que la dirección de la corriente es importante al aplicar la LVK.

Paso 3: Expresiones para el voltaje del capacitor y la resistencia

El voltaje del capacitor se relaciona con la carga (Q) almacenada en él mediante la ecuación: V_C = Q / C. El voltaje de la resistencia se relaciona con la corriente (I) que fluye a través de ella mediante la Ley de Ohm: V_R = I * R. Sustituimos estas expresiones en la ecuación de la LVK.

Tenemos entonces: Q / C + I * R = 0.

Paso 4: Corriente y la tasa de cambio de la carga

La corriente (I) se define como la tasa de cambio de la carga con respecto al tiempo. En la descarga, la carga está disminuyendo, entonces: I = -dQ / dt. El signo negativo indica que la carga del capacitor está disminuyendo con el tiempo.

Sustituimos esta expresión para la corriente en la ecuación obtenida en el paso 3: Q / C - R * (dQ / dt) = 0.

Paso 5: Separación de variables

Reorganizamos la ecuación para separar las variables Q y t: dQ / Q = -dt / (RC). Hemos agrupado todos los términos que dependen de la carga en un lado de la ecuación y todos los términos que dependen del tiempo en el otro lado.

Paso 6: Integración

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a sus respectivas variables. La integral de dQ / Q es ln(Q) y la integral de -dt / (RC) es -t / (RC) + K, donde K es la constante de integración. Esto nos da: ln(Q) = -t / (RC) + K.

Paso 7: Determinación de la constante de integración

Para encontrar la constante de integración K, usamos la condición inicial. En el tiempo t = 0, la carga en el capacitor es Q₀ (la carga inicial). Sustituimos estos valores en la ecuación integrada: ln(Q₀) = -0 / (RC) + K. Esto implica que K = ln(Q₀).

Paso 8: Solución para la carga

Sustituimos el valor de K de nuevo en la ecuación integrada: ln(Q) = -t / (RC) + ln(Q₀). Restamos ln(Q₀) de ambos lados: ln(Q) - ln(Q₀) = -t / (RC). Usamos la propiedad de los logaritmos ln(a) - ln(b) = ln(a/b): ln(Q / Q₀) = -t / (RC). Finalmente, tomamos la exponencial de ambos lados: Q / Q₀ = e^{-t / (RC)}.

Por lo tanto, la ecuación para la carga en función del tiempo es: Q(t) = Q₀ * e^{-t / (RC)}. Aquí, RC es la constante de tiempo del circuito.

Paso 9: Voltaje y corriente en función del tiempo

Dado que V_C = Q / C, el voltaje en función del tiempo es: V(t) = V₀ * e^{-t / (RC)}, donde V₀ es el voltaje inicial. Dado que I = -dQ / dt, la corriente en función del tiempo es: I(t) = (V₀ / R) * e^{-t / (RC)}. Tanto el voltaje como la corriente disminuyen exponencialmente con el tiempo.

En resumen, la ecuación de descarga de un capacitor describe cómo la carga, el voltaje y la corriente decaen exponencialmente con el tiempo, gobernados por la constante de tiempo RC del circuito.