La derivada de un producto con exponente se refiere a encontrar la derivada de una función que es un producto, donde uno o ambos factores del producto están elevados a una potencia.
Para derivar este tipo de funciones, necesitamos combinar dos reglas fundamentales del cálculo: la regla del producto y la regla de la cadena.
La regla del producto establece que si tenemos una función f(x) = u(x) * v(x), entonces su derivada es f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
La regla de la cadena se usa cuando derivamos una función compuesta, por ejemplo, g(x) = [h(x)]n. La derivada es g'(x) = n * [h(x)]n-1 * h'(x).
Veamos un ejemplo paso a paso:
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Ejemplo: Derivar f(x) = (x2 + 1)3 * (2x - 1)2.
- Identificar u(x) y v(x):
- u(x) = (x2 + 1)3
- v(x) = (2x - 1)2
- Calcular u'(x) y v'(x) usando la regla de la cadena:
- u'(x) = 3 * (x2 + 1)2 * (2x) = 6x(x2 + 1)2
- v'(x) = 2 * (2x - 1) * (2) = 4(2x - 1)
- Aplicar la regla del producto:
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
f'(x) = [6x(x2 + 1)2] * (2x - 1)2 + (x2 + 1)3 * [4(2x - 1)]
Diario 2. Derivadas exponenciales y logarítmicas - Simplificar (opcional): Se puede simplificar la expresión factorizando términos comunes. En este caso, se podría factorizar (2x-1) y (x2+1)2.
Puntos clave:
- Recuerda identificar correctamente u(x) y v(x).
- Aplica la regla de la cadena al derivar funciones elevadas a una potencia.
- Ten cuidado con el orden de las operaciones al aplicar la regla del producto.
- Simplificar la expresión final puede hacerla más fácil de entender y usar.
La práctica constante es clave para dominar la derivada de un producto con exponente. ¡No dudes en trabajar con muchos ejemplos!
