Comenzaremos derivando la Ley de Lambert-Beer paso a paso. Desglosaremos el problema en partes más pequeñas. Luego, uniremos las soluciones para obtener la ecuación final.
Parte 1: Absorción Diferencial
Consideremos un haz de luz que atraviesa una muestra. La intensidad de la luz disminuye al ser absorbida. Definimos dI como el cambio infinitesimal en la intensidad.
Este cambio es proporcional a la intensidad de la luz incidente, I. También depende del espesor infinitesimal de la muestra, dx. Además, depende de la concentración del absorbente, c.
Must Read
Matemáticamente, esto se expresa como: dI ∝ -I c dx. El signo negativo indica que la intensidad disminuye.
Introducimos una constante de proporcionalidad, k. Esta constante representa la eficiencia de la absorción. Por lo tanto, dI = -k I c dx.
Parte 2: Integración
Ahora, separamos las variables en la ecuación diferencial: dI / I = -k c dx. Integramos ambos lados de la ecuación.
La integración se realiza desde la intensidad inicial, I0, hasta la intensidad final, I. El espesor varía desde 0 hasta l, donde l es la longitud del camino óptico.
La integral del lado izquierdo es: ∫(dI / I) = ln(I) evaluada desde I0 hasta I. Esto resulta en: ln(I) - ln(I0) = ln(I / I0).
La integral del lado derecho es: ∫(-k c dx) = -k c x evaluada desde 0 hasta l. Esto resulta en: -k c l.
Por lo tanto, tenemos: ln(I / I0) = -k c l.
Parte 3: Exponenciación y Conversión a Logaritmo Base 10
Tomamos el exponencial de ambos lados de la ecuación: eln(I / I0) = e-k c l. Esto simplifica a: I / I0 = e-k c l.
Para relacionarlo con el logaritmo base 10, recordemos que: ex = 10x/ln(10). Aplicamos esta transformación a la ecuación anterior.
Entonces, I / I0 = 10-k c l / ln(10). Definimos la absortividad molar, ε, como ε = k / ln(10).
Esto nos da: I / I0 = 10-ε c l.
Parte 4: Absorbancia
Definimos la transmitancia, T, como la relación entre la intensidad transmitida y la intensidad incidente: T = I / I0. También definimos la absorbancia, A, como el logaritmo negativo de la transmitancia: A = -log10(T).
Sustituyendo T = I / I0 en la definición de absorbancia: A = -log10(I / I0). Dado que I / I0 = 10-ε c l, tenemos: A = -log10(10-ε c l).
Usando la propiedad de los logaritmos: loga(ax) = x, obtenemos: A = ε c l.
Conclusión: La Ley de Lambert-Beer
Finalmente, hemos deducido la Ley de Lambert-Beer: A = ε c l. Aquí, A es la absorbancia, ε es la absortividad molar, c es la concentración, y l es la longitud del camino óptico.
Esta ley establece una relación lineal entre la absorbancia y la concentración. Es una herramienta fundamental en espectrofotometría y otras técnicas analíticas.