Cual Es La Derivada De Arcotangente

Vamos a encontrar la derivada de la función arcotangente. Es decir, la derivada de arctan(x).

Paso 1: Definición de la función arcotangente

La función arcotangente, denotada como arctan(x) o tan^-1(x), es la función inversa de la función tangente. Esto significa que si y = arctan(x), entonces tan(y) = x.

Paso 2: Aplicar la diferenciación implícita

Tenemos la ecuación tan(y) = x. Ahora, aplicaremos la diferenciación implícita con respecto a x a ambos lados de la ecuación. Esto nos permitirá encontrar una relación entre dy/dx y dx/dx.

Recordemos que dx/dx = 1. Y la derivada de tan(y) con respecto a y es sec²(y). Por la regla de la cadena, la derivada de tan(y) con respecto a x es sec²(y) * dy/dx.

Por lo tanto, la diferenciación implícita de tan(y) = x nos da: sec²(y) * dy/dx = 1.

Paso 3: Aislamiento de dy/dx

Nuestro objetivo es encontrar dy/dx, que representa la derivada de arctan(x). Para ello, aislamos dy/dx en la ecuación que obtuvimos en el paso anterior.

Dividimos ambos lados de la ecuación sec²(y) * dy/dx = 1 por sec²(y). Esto nos da: dy/dx = 1 / sec²(y).

Paso 4: Expresar sec²(y) en términos de x

Ahora necesitamos expresar sec²(y) en términos de x. Sabemos que tan(y) = x. También sabemos la identidad trigonométrica: sec²(y) = 1 + tan²(y).

Sustituimos tan(y) por x en la identidad trigonométrica. Esto nos da: sec²(y) = 1 + x². Ahora tenemos sec²(y) expresado en términos de x.

Paso 5: Sustituir en la expresión de dy/dx

Ahora sustituimos sec²(y) = 1 + x² en la expresión que obtuvimos para dy/dx en el paso 3. Recordemos que dy/dx = 1 / sec²(y).

Sustituyendo, obtenemos: dy/dx = 1 / (1 + x²). Esto es la derivada de la función arcotangente.

Paso 6: Resultado final

Por lo tanto, la derivada de arctan(x) con respecto a x es 1 / (1 + x²). Podemos escribir esto como:

d/dx [arctan(x)] = 1 / (1 + x²).

En resumen, hemos utilizado la diferenciación implícita y una identidad trigonométrica para encontrar la derivada de la función arcotangente.

La clave fue recordar la relación entre la función tangente y su inversa, la arcotangente. También, la aplicación correcta de la regla de la cadena fue fundamental para obtener el resultado correcto.