La derivada de una fracción es la tasa de cambio instantánea de una función que se expresa como una fracción. Formalmente, si tenemos una función f(x) = u(x) / v(x), donde u(x) y v(x) son funciones derivables, su derivada se calcula mediante la regla del cociente.
Aquí te explicamos paso a paso cómo sacar la derivada de una fracción usando la regla del cociente:
- Identifica u(x) y v(x): Determina qué función es el numerador (u(x)) y cuál es el denominador (v(x)).
Ejemplo: Si f(x) = (x2 + 1) / (x - 2), entonces u(x) = x2 + 1 y v(x) = x - 2.
- Calcula las derivadas de u(x) y v(x): Encuentra u'(x), la derivada de u(x), y v'(x), la derivada de v(x).
Ejemplo: Si u(x) = x2 + 1, entonces u'(x) = 2x. Si v(x) = x - 2, entonces v'(x) = 1.
- Aplica la regla del cociente: La fórmula para la derivada de una fracción es:
f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / [v(x)]2
Ejemplo: Usando los valores del ejemplo anterior: f'(x) = [(2x)(x - 2) - (x2 + 1)(1)] / (x - 2)2
Derivar una fracción con constante en el numerador - YouTube - Simplifica la expresión: Simplifica el resultado algebraicamente.
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior: f'(x) = (2x2 - 4x - x2 - 1) / (x - 2)2 = (x2 - 4x - 1) / (x - 2)2
La derivada de una fracción es fundamental en varios campos. Por ejemplo, en física, se utiliza para calcular velocidades y aceleraciones cuando estas están representadas por funciones fraccionarias. En economía, es útil para optimizar costos y beneficios en modelos que involucran ratios y proporciones. Entender cómo derivar fracciones te permite analizar y modelar situaciones donde la tasa de cambio depende de una relación entre dos variables.
