Area Bajo La Curva Integrales Ejercicios Resueltos

El área bajo la curva, calculada mediante integrales definidas, representa el área delimitada por la gráfica de una función, el eje x, y dos límites verticales definidos (a y b). En esencia, integramos la función desde a hasta b para obtener esta área.

Paso a paso:

1. Definir la función y los límites: Identifica la función f(x) que describe la curva y los límites de integración a y b.
2. Calcular la integral indefinida: Encuentra la antiderivada de f(x), denotada como F(x). Recuerda, la integral indefinida siempre incluye la constante de integración "+ C". Ejemplo: Si f(x) = x², entonces F(x) = (x³)/3 + C.
3. Evaluar la integral definida: Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo. Calcula F(b) - F(a). Sustituye b y a en la antiderivada y resta los resultados. La constante "C" se cancela en este paso. Ejemplo: Si F(x) = (x³)/3, a = 1, y b = 2, entonces F(2) - F(1) = (2³)/3 - (1³)/3 = 8/3 - 1/3 = 7/3.
4. Interpretar el resultado: El valor obtenido representa el área bajo la curva entre los límites a y b.

Ejemplo adicional: Calcula el área bajo la curva de f(x) = 2x entre x = 0 y x = 3. La integral indefinida es F(x) = x² + C. Evaluando: F(3) - F(0) = (3²) - (0²) = 9 - 0 = 9. El área es 9 unidades cuadradas.

Aplicaciones prácticas: El cálculo del área bajo la curva es fundamental en diversas áreas. Por ejemplo, en física, puede representar el trabajo realizado por una fuerza variable. En economía, puede calcular el excedente del consumidor, representando el beneficio total que obtienen los consumidores al comprar un bien o servicio a un precio determinado. Estas aplicaciones demuestran la importancia de comprender y aplicar el cálculo integral.