En esta guía, abordaremos la Actividad Formativa 3 sobre Aplicaciones de la Derivada. Seguiremos cada paso de manera clara y concisa. Utilizaremos ejemplos para facilitar la comprensión.
Optimización: Máximos y Mínimos
Empezaremos con problemas de optimización. Estos problemas buscan el valor máximo o mínimo de una función sujeta a ciertas restricciones. Consideremos el siguiente ejemplo: Queremos construir una caja rectangular sin tapa con un volumen de 32 metros cúbicos. Queremos minimizar la cantidad de material usado, es decir, el área superficial.
Paso 1: Definir las variables. Sean l el largo, w el ancho, y h la altura de la caja. El volumen está dado por V = lwh = 32. El área superficial (sin tapa) es A = lw + 2lh + 2wh.
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Paso 2: Expresar la función a optimizar en términos de una sola variable. De la ecuación del volumen, podemos despejar h = 32/(lw). Sustituimos esto en la ecuación del área: A = lw + 2l(32/(lw)) + 2w(32/(lw)) = lw + 64/w + 64/l.
Paso 3: Encontrar los puntos críticos. Calculamos las derivadas parciales de A con respecto a l y w. ∂A/∂l = w - 64/l2 y ∂A/∂w = l - 64/w2. Igualamos ambas derivadas a cero: w - 64/l2 = 0 y l - 64/w2 = 0.
Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones. De las ecuaciones anteriores, obtenemos w = 64/l2 y l = 64/w2. Sustituyendo la primera en la segunda: l = 64 / (64/l2)2 = l4/64. Esto implica l3 = 64, por lo que l = 4. Sustituyendo l = 4 en w = 64/l2, obtenemos w = 64/16 = 4.
Paso 5: Encontrar la altura. Con l = 4 y w = 4, calculamos h = 32/(lw) = 32/(4*4) = 2. Por lo tanto, las dimensiones que minimizan el área superficial son l = 4, w = 4, h = 2.
Paso 6: Verificar que es un mínimo. Calculamos las segundas derivadas parciales y aplicamos el criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables. Este paso confirma que el punto crítico encontrado corresponde a un mínimo.
Tasas Relacionadas
Otro tipo de problema común son las tasas relacionadas. En estos problemas, se nos da la tasa de cambio de una o más variables y se nos pide encontrar la tasa de cambio de otra variable relacionada.
Ejemplo: Un globo esférico se está inflando a razón de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez está aumentando el radio del globo cuando el radio es de 5 cm?
Paso 1: Identificar las variables y sus tasas. V es el volumen del globo, r es el radio, y dV/dt = 100 cm3/s. Queremos encontrar dr/dt cuando r = 5 cm.
Paso 2: Escribir la ecuación que relaciona las variables. El volumen de una esfera es V = (4/3)πr3.
Paso 3: Derivar implícitamente con respecto al tiempo t. dV/dt = (4/3)π(3r2)(dr/dt) = 4πr2(dr/dt).
Paso 4: Sustituir los valores conocidos y resolver para la tasa desconocida. Tenemos 100 = 4π(52)(dr/dt). Resolviendo para dr/dt: dr/dt = 100 / (4π(25)) = 1 / π cm/s.
En resumen, para resolver problemas de aplicaciones de la derivada, es crucial identificar las variables, establecer las relaciones entre ellas, derivar apropiadamente y resolver las ecuaciones resultantes. La práctica constante es fundamental para dominar estas técnicas.
