¡Hola a todos! Vamos a repasar juntos 10 ejercicios resueltos de identidades trigonométricas. ¡No se preocupen! Con práctica y paciencia, dominarán este tema. ¡Empecemos!
Ejercicio 1
Demuestra la identidad: sen²(x) + cos²(x) = 1. Este es nuestro punto de partida, ¡la identidad pitagórica fundamental!
Ya está demostrada. Esta es la base para muchas otras identidades. ¡Memorízenla!
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Ejercicio 2
Simplifica: (1 - cos²(x)) / sen(x). Recuerda que sen²(x) + cos²(x) = 1.
Por lo tanto, 1 - cos²(x) = sen²(x). Sustituyendo, tenemos sen²(x) / sen(x) = sen(x). La expresión simplificada es sen(x). ¡Bien hecho!
Ejercicio 3
Demuestra: tan(x) = sen(x) / cos(x). Esta es la definición de la tangente.
Ya está demostrada. ¡Otra identidad fundamental para recordar!
Ejercicio 4
Simplifica: cos(x) * tan(x). Recuerda que tan(x) = sen(x) / cos(x).
Sustituyendo, tenemos cos(x) * (sen(x) / cos(x)) = sen(x). ¡La respuesta es sen(x)!
Ejercicio 5
Demuestra: 1 + tan²(x) = sec²(x). Recuerda la identidad pitagórica: sen²(x) + cos²(x) = 1.
Dividiendo toda la ecuación entre cos²(x), obtenemos (sen²(x) / cos²(x)) + (cos²(x) / cos²(x)) = (1 / cos²(x)). Esto se simplifica a tan²(x) + 1 = sec²(x). ¡Demostrado!
Ejercicio 6
Simplifica: sec(x) / csc(x). Recuerda que sec(x) = 1 / cos(x) y csc(x) = 1 / sen(x).
Entonces, (1 / cos(x)) / (1 / sen(x)) = sen(x) / cos(x) = tan(x). ¡La simplificación es tan(x)!
Ejercicio 7
Demuestra: cot(x) = cos(x) / sen(x). Esta es la definición de la cotangente.
Ya está demostrada. ¡Es el recíproco de la tangente!
Ejercicio 8
Simplifica: cot(x) * sen(x). Recuerda que cot(x) = cos(x) / sen(x).
Sustituyendo, tenemos (cos(x) / sen(x)) * sen(x) = cos(x). ¡La respuesta es cos(x)!
Ejercicio 9
Demuestra: 1 + cot²(x) = csc²(x). Similar al ejercicio 5, partimos de sen²(x) + cos²(x) = 1.
Dividiendo toda la ecuación entre sen²(x), obtenemos (sen²(x) / sen²(x)) + (cos²(x) / sen²(x)) = (1 / sen²(x)). Esto se simplifica a 1 + cot²(x) = csc²(x). ¡Demostrado!
Ejercicio 10
Simplifica: (sen(x) + cos(x))² + (sen(x) - cos(x))². ¡Aquí usaremos álgebra!
Expandiendo, tenemos sen²(x) + 2sen(x)cos(x) + cos²(x) + sen²(x) - 2sen(x)cos(x) + cos²(x). Los términos 2sen(x)cos(x) se cancelan. Agrupando, tenemos 2sen²(x) + 2cos²(x) = 2(sen²(x) + cos²(x)) = 2 * 1 = 2. ¡La respuesta es 2!
Resumen: Hemos repasado las identidades trigonométricas fundamentales: sen²(x) + cos²(x) = 1, tan(x) = sen(x) / cos(x), cot(x) = cos(x) / sen(x), sec(x) = 1 / cos(x), y csc(x) = 1 / sen(x). También hemos visto cómo manipular estas identidades para simplificar expresiones y demostrar otras identidades. ¡Sigan practicando y tendrán éxito!
¡Recuerden! La clave es practicar y familiarizarse con las identidades. ¡No se rindan! ¡Ustedes pueden!