En matemáticas, un conjunto es una colección bien definida de objetos, considerados en sí mismos como un objeto. Podemos describir estos conjuntos de dos maneras principales: por extensión y por comprensión.
¿Qué es la Extensión?
Describir un conjunto por extensión significa listar cada uno de los elementos que lo componen, separados por comas y encerrados entre llaves. Es como hacer una lista detallada de todo lo que pertenece al conjunto.
Ejemplo 1: El conjunto de las vocales: {a, e, i, o, u}
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Ejemplo 2: Los números pares menores que 10: {2, 4, 6, 8}
Ejemplo 3: Los colores primarios: {rojo, amarillo, azul}
Ejemplo 4: Los días de la semana que empiezan con "M": {martes, miércoles}
Ejemplo 5: Los primeros tres números naturales: {1, 2, 3}
¿Qué es la Comprensión?
Describir un conjunto por comprensión significa indicar una propiedad o característica común que cumplen todos los elementos del conjunto. En lugar de listar cada elemento, damos una regla que los define.
La notación general es: { x | x cumple la propiedad P }, que se lee "el conjunto de todos los x, tales que x cumple la propiedad P". La barra vertical "|" se lee "tal que".
Ejemplo 6: El conjunto de las vocales: { x | x es una vocal }
Ejemplo 7: Los números pares menores que 10: { x | x es un número par y x < 10 }
Ejemplo 8: Los colores primarios: { x | x es un color primario }
Ejemplo 9: Los días de la semana que empiezan con "M": { x | x es un día de la semana y x empieza con "M" }
Ejemplo 10: Los primeros tres números naturales: { x | x es un número natural y x ≤ 3 }
Comparando Extensión y Comprensión
La extensión es útil cuando el conjunto tiene pocos elementos y es fácil listarlos. La comprensión es más útil cuando el conjunto tiene muchos elementos o es incluso infinito, y resulta más práctico definirlo por una propiedad.
Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales es infinito. Sería imposible listarlos por extensión. En cambio, por comprensión se define fácilmente: { x | x es un número natural }.
En resumen, la extensión es una lista, mientras que la comprensión es una regla.