Analicemos la transformada de Laplace de cos(ωt) paso a paso. Necesitamos identificar el problema y las herramientas. Partamos de la definición fundamental.
Definición de la Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t) se define como: F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt. Aquí, s es una variable compleja. Es una integral impropia que converge si la función cumple ciertas condiciones.
En nuestro caso, f(t) = cos(ωt). Sustituimos esto en la definición. Así tenemos: F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) cos(ωt) dt.
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Integración por Partes
Para resolver esta integral, aplicaremos integración por partes. Recordemos la fórmula: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Debemos elegir adecuadamente u y dv.
Primero, sea u = cos(ωt) y dv = e^(-st) dt. Entonces, du = -ω sin(ωt) dt y v = -e^(-st)/s. Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos un nuevo integral.
Ahora, ∫₀^∞ e^(-st) cos(ωt) dt = [-e^(-st) cos(ωt) / s ]₀^∞ - ∫₀^∞ (e^(-st) ω sin(ωt) / s) dt. Necesitamos evaluar el primer término en los límites de integración y resolver la nueva integral. Evaluamos los límites del primer término. Cuando t tiende a infinito, e^(-st) tiende a cero si Re(s) > 0. Cuando t = 0, el término se convierte en -1/s. Por lo tanto el primer término es 1/s.
Segunda Integración por Partes
La integral restante es ∫₀^∞ (e^(-st) ω sin(ωt) / s) dt = (ω/s) ∫₀^∞ e^(-st) sin(ωt) dt. Aplicaremos nuevamente integración por partes. Sea u = sin(ωt) y dv = e^(-st) dt. Entonces, du = ω cos(ωt) dt y v = -e^(-st) / s.
Aplicando la fórmula obtenemos (ω/s) ∫₀^∞ e^(-st) sin(ωt) dt = (ω/s) ( [-e^(-st) sin(ωt) / s ]₀^∞ + ∫₀^∞ (e^(-st) ω cos(ωt) / s) dt ). Evaluamos el primer término entre los límites. Este término se hace cero en ambos límites.
La integral resultante es (ω²/s²) ∫₀^∞ e^(-st) cos(ωt) dt. Notamos que esta integral es la misma que la integral original.
Resolviendo la Ecuación
Ahora tenemos: F(s) = 1/s - (ω²/s²) F(s). Sumamos (ω²/s²) F(s) a ambos lados de la ecuación. Esto nos da: F(s) + (ω²/s²) F(s) = 1/s. Factorizamos F(s) del lado izquierdo: F(s) (1 + ω²/s²) = 1/s.
Ahora despejamos F(s). Multiplicamos ambos lados por s² / (s² + ω²). Finalmente, obtenemos: F(s) = s / (s² + ω²).
Conclusión
Por lo tanto, la transformada de Laplace de cos(ωt) es s / (s² + ω²), asumiendo que Re(s) > 0. Hemos utilizado la definición, la integración por partes repetidamente y álgebra básica para llegar a la solución. La clave está en la aplicación metódica de las herramientas y en no perder de vista el objetivo final.
