El rango de una función cuadrática es el conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de y) que la función puede producir.
Comprendiendo el Rango
Una función cuadrática tiene la forma general: f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números constantes y a no es cero. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
La forma de la parábola (si se abre hacia arriba o hacia abajo) determina el rango. El punto más alto o más bajo de la parábola se llama vértice. La coordenada y del vértice es crucial para determinar el rango.
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Parábola que se Abre Hacia Arriba (a > 0)
Si el coeficiente de x² (a) es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Esto significa que la parábola tiene un valor mínimo.
En este caso, el rango es todos los números reales mayores o iguales a la coordenada y del vértice. Si el vértice es (h, k), entonces el rango es [k, ∞). Esto significa que el rango incluye todos los números desde k hasta el infinito.
Ejemplo: Considera la función f(x) = x² + 2. El vértice es (0, 2). Como a es positivo (a=1), la parábola se abre hacia arriba. El rango es [2, ∞). La función nunca produce un valor de y menor que 2.
Parábola que se Abre Hacia Abajo (a < 0)
Si el coeficiente de x² (a) es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Esto significa que la parábola tiene un valor máximo.
En este caso, el rango es todos los números reales menores o iguales a la coordenada y del vértice. Si el vértice es (h, k), entonces el rango es (-∞, k]. Esto significa que el rango incluye todos los números desde el infinito negativo hasta k.
Ejemplo: Considera la función f(x) = -x² + 5. El vértice es (0, 5). Como a es negativo (a=-1), la parábola se abre hacia abajo. El rango es (-∞, 5]. La función nunca produce un valor de y mayor que 5.
Encontrar el Vértice
Para encontrar el vértice (h, k) de una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, podemos usar las siguientes fórmulas:
- h = -b / 2a
- k = f(h) (sustituye el valor de h en la función para encontrar k)
Resumiendo
En resumen, el rango de una función cuadrática depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y de la coordenada y del vértice. Una vez que encuentras el vértice y sabes si a es positivo o negativo, puedes determinar fácilmente el rango de la función.
