Procedimientos Para Resolver Problemas Con Variables Artificiales

Cuando resolvemos problemas de programación lineal con restricciones del tipo “mayor o igual que” (≥) o “igual a” (=), necesitamos introducir variables artificiales. Estas variables no tienen significado en el problema original; son simplemente un truco matemático para iniciar el algoritmo Simplex.

¿Qué es una variable artificial? Es una variable que añadimos a una restricción para convertirla en una igualdad y así obtener una solución básica factible inicial. Imagina que tienes la restricción: x + y ≥ 5. Para usar Simplex, necesitamos una igualdad. Introducimos una variable de holgura (s) y una variable artificial (A): x + y - s + A = 5. La variable artificial 'A' nos permite tener una solución inicial fácil (A=5, x=0, y=0, s=0).

Aquí te presentamos el procedimiento paso a paso:

1. Identifica las restricciones: Localiza todas las restricciones del tipo "≥" o "=".
2. Introduce variables de holgura y excedente: Si tienes una restricción "≥", resta una variable de holgura (s) y suma una variable artificial (A). Si tienes "=", simplemente suma una variable artificial (A). Recuerda, las variables de holgura se restan en restricciones "≥" y las de excedente se suman en restricciones "≤".
3. Modifica la función objetivo: Añade las variables artificiales a la función objetivo con un coeficiente grande, pero negativo (si estás maximizando) o positivo (si estás minimizando). Este coeficiente se representa usualmente con la letra "M" (un número muy grande). Por ejemplo, si minimizas z = 2x + 3y, y has añadido una variable artificial A, la función objetivo se convierte en z = 2x + 3y + MA. El objetivo es forzar a la variable artificial a tomar el valor 0 en la solución óptima.
4. Construye la tabla Simplex inicial: Incluye todas las variables (originales, de holgura/excedente y artificiales) en la tabla Simplex. La columna de la variable artificial tendrá un 1 en la fila de la restricción a la que pertenece y 0 en las demás filas.
5. Aplica el algoritmo Simplex: Realiza las iteraciones del Simplex hasta alcanzar la solución óptima. Idealmente, todas las variables artificiales deben tener un valor de 0 en la solución final. Si una variable artificial tiene un valor positivo en la solución óptima, significa que el problema no tiene solución factible.

Ejemplo sencillo: Minimizar z = x + y sujeto a x + y ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Añadimos la variable de holgura 's' y la variable artificial 'A': x + y - s + A = 1. La función objetivo se convierte en z = x + y + MA. Ahora podemos construir la tabla Simplex inicial y aplicar el algoritmo.

Recuerda, las variables artificiales son una herramienta para facilitar el proceso de solución del problema. El verdadero objetivo es encontrar los valores óptimos de las variables originales (x, y, etc.) que satisfagan las restricciones del problema.