Parabola Dentro Y Fuera Del Origen

Una parábola es una curva que se forma cuando cortas un cono con un plano, pero no a través de la base. Matemáticamente, es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (el foco) y una línea fija (la directriz).

La ecuación de una parábola cambia dependiendo de dónde esté ubicada en el plano cartesiano. Analizaremos dos casos principales: parábolas con vértice en el origen (0,0) y parábolas con vértice fuera del origen.

Parábola con Vértice en el Origen (0,0)

Si el vértice de la parábola está en el origen, las ecuaciones son más simples. Existen dos posibilidades principales:

Parábola que abre hacia la derecha o izquierda: La ecuación es de la forma y² = 4px. Si p > 0, abre hacia la derecha. Si p < 0, abre hacia la izquierda. El foco está en el punto (p, 0) y la directriz es la línea x = -p.

Parábola que abre hacia arriba o abajo: La ecuación es de la forma x² = 4py. Si p > 0, abre hacia arriba. Si p < 0, abre hacia abajo. El foco está en el punto (0, p) y la directriz es la línea y = -p.

Ejemplo: Considera la parábola y² = 8x. Aquí, 4p = 8, entonces p = 2. Esto significa que la parábola abre hacia la derecha, el foco está en (2, 0) y la directriz es x = -2.

Parábola con Vértice Fuera del Origen (h, k)

Cuando el vértice no está en el origen, digamos que está en el punto (h, k), las ecuaciones se modifican para reflejar este desplazamiento:

Parábola que abre hacia la derecha o izquierda: La ecuación es (y - k)² = 4p(x - h). Si p > 0, abre a la derecha; si p < 0, a la izquierda. El foco está en (h + p, k) y la directriz es x = h - p.

Parábola que abre hacia arriba o abajo: La ecuación es (x - h)² = 4p(y - k). Si p > 0, abre hacia arriba; si p < 0, hacia abajo. El foco está en (h, k + p) y la directriz es y = k - p.

Ejemplo: Considera la parábola (x - 2)² = -12(y + 1). Aquí, 4p = -12, por lo que p = -3. El vértice es (2, -1). Como p es negativo, la parábola abre hacia abajo. El foco está en (2, -1 - 3) = (2, -4) y la directriz es y = -1 - (-3) = 2.

Recuerda que el valor de p determina la dirección y la "apertura" de la parábola. Con estas ecuaciones y ejemplos, puedes identificar y analizar diferentes parábolas.