Metodo De Punto Fijo Matlab Codigo

¡Hola a todos! Prepárense para dominar el Método de Punto Fijo en MATLAB. Este método es clave para resolver ecuaciones no lineales, y con esta guía, ¡lo entenderán a la perfección!

¿Qué es el Método de Punto Fijo?

El Método de Punto Fijo busca una solución a la ecuación x = g(x). En otras palabras, estamos buscando un punto donde la función g(x) intersecta la línea y = x. Ese punto de intersección es nuestro punto fijo.

Para aplicarlo, necesitamos transformar nuestra ecuación original, f(x) = 0, en una forma adecuada. Esta forma es x = g(x). La función g(x) debe ser elegida cuidadosamente.

La clave está en iterar la función g(x). Comenzamos con una aproximación inicial x₀ y calculamos x₁ = g(x₀), luego x₂ = g(x₁), y así sucesivamente.

El Código en MATLAB

Aquí les presento un ejemplo básico de cómo implementar el Método de Punto Fijo en MATLAB:

    
function [raiz, iter] = puntoFijo(g, x0, tol, maxIter)
% g: función g(x)
% x0: aproximación inicial
% tol: tolerancia
% maxIter: número máximo de iteraciones

iter = 0;
x = x0;
error = tol + 1; % Inicializar el error para que entre al bucle

while error > tol && iter < maxIter
    x_anterior = x;
    x = g(x_anterior);
    error = abs(x - x_anterior);
    iter = iter + 1;
end

raiz = x;

if iter == maxIter
    disp('¡Advertencia! El método no convergió después de maxIter iteraciones.');
end

end
    
  

Analicemos el código paso a paso. Primero, la función `puntoFijo` recibe la función g(x), una aproximación inicial `x0`, la tolerancia `tol` y el número máximo de iteraciones `maxIter`.

Luego, inicializamos el contador de iteraciones `iter` y la variable `error`. El bucle `while` se ejecuta mientras el error sea mayor que la tolerancia y el número de iteraciones sea menor que el máximo permitido.

Dentro del bucle, calculamos la nueva aproximación `x` aplicando la función g(x) a la aproximación anterior `x_anterior`. Calculamos el error absoluto entre la nueva aproximación y la anterior. Finalmente, incrementamos el contador de iteraciones.

Después de salir del bucle, asignamos la última aproximación a la variable `raiz`. Si el método no convergió después de `maxIter` iteraciones, mostramos una advertencia.

Ejemplo de Uso

Supongamos que queremos encontrar la raíz de la ecuación f(x) = x² - 2x - 3 = 0 usando el Método de Punto Fijo. Podemos reescribir esta ecuación como x = (x² - 3) / 2. Entonces, g(x) = (x² - 3) / 2.

Para usar la función `puntoFijo`, primero debemos definir la función g(x) en MATLAB:

    
g = @(x) (x^2 - 3) / 2;
    
  

Luego, podemos llamar a la función `puntoFijo` con una aproximación inicial `x0 = 4`, una tolerancia `tol = 0.0001` y un número máximo de iteraciones `maxIter = 100`:

    
[raiz, iter] = puntoFijo(g, 4, 0.0001, 100);
disp(['Raíz encontrada: ', num2str(raiz)]);
disp(['Número de iteraciones: ', num2str(iter)]);
    
  

Puntos Clave

• El Método de Punto Fijo busca soluciones a la ecuación x = g(x).
• Es crucial elegir una función g(x) adecuada para la convergencia.
• El código en MATLAB itera hasta que se alcanza una tolerancia o se excede el número máximo de iteraciones.

¡Recuerden! La convergencia del Método de Punto Fijo depende de la elección de la función g(x) y de la aproximación inicial x₀. ¡Practiquen con diferentes ejemplos y variantes de la función g(x)!

¡Mucho éxito en su examen! ¡Confío en que lo harán genial!