La matriz asociada a una transformación lineal es una representación matricial de dicha transformación respecto a bases específicas de los espacios vectoriales de dominio y codominio. En esencia, transforma un vector de coordenadas en otro vector de coordenadas, ambos representando el mismo vector pero en bases distintas.
Para obtener la matriz asociada, se aplican los siguientes pasos clave:
- Elegir bases: Seleccionar una base ordenada B para el espacio vectorial dominio V y una base ordenada B' para el espacio vectorial codominio W. La elección de la base afecta directamente a la matriz resultante.
- Transformar los vectores de la base del dominio: Aplicar la transformación lineal T a cada vector de la base B de V. Obtendremos así un conjunto de vectores en W.
- Expresar los resultados en la base del codominio: Cada uno de los vectores T(vi) (donde vi es un vector de la base B) debe expresarse como una combinación lineal de los vectores de la base B' de W. Los coeficientes de esta combinación lineal formarán las columnas de la matriz asociada.
- Construir la matriz: Organizar los coeficientes obtenidos en el paso anterior por columnas. La i-ésima columna de la matriz estará formada por las coordenadas de T(vi) en la base B'.
Ejemplo 1: Sea T: ℝ2 → ℝ2 la transformación lineal definida por T(x, y) = (x + y, x - y). Si elegimos la base canónica B = {(1, 0), (0, 1)} para ambos espacios, entonces T(1, 0) = (1, 1) y T(0, 1) = (1, -1). Por lo tanto, la matriz asociada a T en la base canónica es
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\]
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Ejemplo 2: Consideremos T: ℝ2 → ℝ definida por T(x, y) = x + 2y. Si elegimos la base canónica B = {(1, 0), (0, 1)} para ℝ2 y la base B' = {1} para ℝ, entonces T(1, 0) = 1 y T(0, 1) = 2. La matriz asociada es (1 2), una matriz de 1x2.
El cálculo de la matriz asociada permite simplificar el estudio y la aplicación de las transformaciones lineales. Permite, por ejemplo, calcular el resultado de la transformación para cualquier vector mediante una simple multiplicación matricial. Además, facilita el cálculo de propiedades importantes de la transformación como su núcleo y su imagen.
Las matrices asociadas tienen amplias aplicaciones en diversos campos. En gráficos por computadora, se utilizan para representar transformaciones geométricas como rotaciones, traslaciones y escalamientos. En ingeniería, se emplean para modelar sistemas lineales y analizar su comportamiento. En física, se utilizan para representar transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas.
