La situación de Marta, quien tiene ahorrado 125€ y decide incrementar cada semana 45€, representa un ejemplo de progresión aritmética. En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Esta diferencia constante se conoce como la diferencia común.
El aspecto clave de esta progresión es la diferencia común. En el caso de Marta, la diferencia común es de 45€, ya que cada semana añade esta cantidad a sus ahorros. Esto significa que para calcular cuánto tendrá ahorrado en cualquier semana, necesitamos sumar esta diferencia común al ahorro inicial (125€) multiplicado por el número de semanas transcurridas.
La fórmula general para calcular el término n-ésimo (el valor en la semana n) de una progresión aritmética es: an = a1 + (n-1)d, donde an es el término n-ésimo, a1 es el primer término (ahorro inicial), n es el número de términos (número de semanas), y d es la diferencia común.
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Veamos un ejemplo: ¿Cuánto tendrá Marta ahorrado después de 5 semanas? Usando la fórmula: a5 = 125 + (5-1) * 45 = 125 + (4 * 45) = 125 + 180 = 305€. Por lo tanto, Marta tendrá 305€ ahorrados después de 5 semanas.
Otro ejemplo: ¿Cuánto habrá ahorrado Marta después de 10 semanas? Aplicamos la fórmula nuevamente: a10 = 125 + (10-1) * 45 = 125 + (9 * 45) = 125 + 405 = 530€. Después de 10 semanas, Marta tendrá 530€.
Es importante destacar que a1 siempre representa el valor inicial, que en este caso son los 125€ que Marta ya tenía ahorrados. La diferencia común (45€) es lo que se suma repetidamente para obtener los siguientes términos de la progresión. El valor de 'n' siempre debe ser un número entero positivo, representando el número de semana que estamos analizando.
En el mundo real, las progresiones aritméticas son útiles para modelar situaciones donde hay un incremento o decremento constante, como el ahorro programado, el cálculo de intereses simples, o la depreciación lineal de un activo. El ejemplo de Marta ilustra de forma clara cómo planificar y predecir el crecimiento de un ahorro a lo largo del tiempo.
