Para encontrar la función Lagrangiana de una partícula cargada en un campo electromagnético, dividiremos el problema en componentes manejables. Primero, debemos recordar las ecuaciones de movimiento.
Energía Cinética
La energía cinética de una partícula libre es fundamental. La expresamos como T = (1/2)mv². Aquí, m es la masa de la partícula y v es su velocidad. Podemos escribir la velocidad como la derivada temporal de la posición: v = dr/dt.
Entonces, la energía cinética se convierte en T = (1/2)m(dr/dt)². Esta expresión representa la energía de la partícula debido a su movimiento. Ahora, consideremos la interacción con el campo electromagnético.
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Energía Potencial Electromagnética
La fuerza sobre una partícula cargada en un campo electromagnético está dada por la fuerza de Lorentz. Esta fuerza es F = q(E + v x B). Aquí, q es la carga de la partícula, E es el campo eléctrico y B es el campo magnético.
Podemos expresar los campos eléctrico y magnético en términos de potenciales. El campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial escalar, E = -∇φ. El campo magnético es el rizo del potencial vectorial, B = ∇ x A.
La energía potencial, U, está relacionada con la fuerza. La relación es F = -∇U. Para encontrar la energía potencial electromagnética, consideramos el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz.
El Potencial Escalar y Vectorial
El potencial escalar φ contribuye con un término qφ a la energía potencial. Esto representa la energía potencial debido a la interacción con el campo eléctrico.
El potencial vectorial A contribuye con un término que involucra el producto punto de la velocidad y el potencial vectorial. Este término es -q v · A. Este término representa la energía potencial debido a la interacción con el campo magnético.
La Función Lagrangiana
La función Lagrangiana, L, se define como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. Esto es, L = T - U. Sustituimos nuestras expresiones para la energía cinética y la energía potencial.
Entonces, L = (1/2)m(dr/dt)² - qφ + q v · A. Esta es la función Lagrangiana de una partícula cargada en un campo electromagnético. Podemos escribir esto más explícitamente en coordenadas cartesianas.
En coordenadas cartesianas, la velocidad es v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt). El potencial vectorial es A = (Ax, Ay, Az). La función Lagrangiana se convierte en:
L = (1/2)m[(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²] - qφ + q[(dx/dt)Ax + (dy/dt)Ay + (dz/dt)Az]. Esta es la expresión final de la función Lagrangiana.
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Para obtener las ecuaciones de movimiento, usamos las ecuaciones de Euler-Lagrange. Estas ecuaciones son: d/dt(∂L/∂(dqᵢ/dt)) - ∂L/∂qᵢ = 0. Aquí, qᵢ son las coordenadas generalizadas.
Aplicando estas ecuaciones a la Lagrangiana, obtenemos las ecuaciones de movimiento para la partícula cargada. Estas ecuaciones son equivalentes a la ley de Newton y la fuerza de Lorentz combinadas.
Por ejemplo, para la coordenada x, obtenemos: d/dt(m(dx/dt) + qAx) - (-q∂φ/∂x + q(dx/dt ∂Ax/∂x + dy/dt ∂Ay/∂x + dz/dt ∂Az/∂x)) = 0. Simplificando esto, podemos obtener una de las componentes de la fuerza de Lorentz.
