Intervalo De Confianza Para La Media Ejercicios Resueltos

¡Hola, futuros estadísticos! Prepárense para dominar los intervalos de confianza para la media. Este tema puede parecer complicado, pero con práctica y una buena guía, ¡lo van a superar con éxito! Vamos a revisar algunos ejercicios resueltos.

Conceptos Clave: Un Repaso Rápido

Antes de sumergirnos en los ejercicios, recordemos los conceptos fundamentales. El intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene el verdadero valor del parámetro de la población. En nuestro caso, el parámetro es la media poblacional (μ). El nivel de confianza indica la probabilidad de que el intervalo contenga μ.

La fórmula general para el intervalo de confianza depende de si conocemos o no la desviación estándar poblacional (σ). Si σ es conocida, usamos la distribución Z. Si σ es desconocida, usamos la distribución t de Student.

Ejercicio Resuelto #1: Desviación Estándar Poblacional Conocida (σ)

Enunciado: Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes. Se mide su coeficiente intelectual (CI). La media muestral es de 110. Se sabe que la desviación estándar poblacional del CI es 15. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional del CI.

Solución:

1. Identificar los datos:
   • Media muestral (x̄): 110
   • Desviación estándar poblacional (σ): 15
   • Tamaño de la muestra (n): 50
   • Nivel de confianza: 95% (α = 0.05)
2. Encontrar el valor crítico Z: Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico Z (Z_α/2) es 1.96 (puedes buscarlo en una tabla Z o usar una calculadora).
3. Calcular el error estándar: Error estándar = σ / √n = 15 / √50 ≈ 2.12
4. Calcular el margen de error: Margen de error = Z_α/2 * Error estándar = 1.96 * 2.12 ≈ 4.16
5. Construir el intervalo de confianza:
   • Límite inferior: x̄ - Margen de error = 110 - 4.16 = 105.84
   • Límite superior: x̄ + Margen de error = 110 + 4.16 = 114.16

Interpretación: Tenemos un 95% de confianza de que la media poblacional del CI de los estudiantes se encuentra entre 105.84 y 114.16.

Ejercicio Resuelto #2: Desviación Estándar Poblacional Desconocida (s)

Enunciado: Se mide el tiempo (en minutos) que tardan 12 personas en resolver un rompecabezas. Los tiempos son: 15, 18, 20, 22, 17, 21, 19, 23, 25, 20, 16, 24. Calcula un intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio poblacional.

Solución:

1. Calcular la media muestral (x̄) y la desviación estándar muestral (s):
   • x̄ ≈ 20
   • s ≈ 2.96
2. Identificar los datos:
   • Media muestral (x̄): 20
   • Desviación estándar muestral (s): 2.96
   • Tamaño de la muestra (n): 12
   • Nivel de confianza: 90% (α = 0.10)
3. Encontrar el valor crítico t: Grados de libertad (gl) = n - 1 = 12 - 1 = 11. Para un nivel de confianza del 90% y 11 grados de libertad, el valor crítico t (t_{α/2, gl}) es aproximadamente 1.796 (puedes buscarlo en una tabla t).
4. Calcular el error estándar: Error estándar = s / √n = 2.96 / √12 ≈ 0.85
5. Calcular el margen de error: Margen de error = t_{α/2, gl} * Error estándar = 1.796 * 0.85 ≈ 1.53
6. Construir el intervalo de confianza:
   • Límite inferior: x̄ - Margen de error = 20 - 1.53 = 18.47
   • Límite superior: x̄ + Margen de error = 20 + 1.53 = 21.53

Interpretación: Tenemos un 90% de confianza de que el tiempo medio poblacional para resolver el rompecabezas se encuentra entre 18.47 y 21.53 minutos.

Puntos Clave para Recordar

• Identifica si conoces la desviación estándar poblacional (σ) o solo la muestral (s).
• Si conoces σ, usa la distribución Z. Si conoces s, usa la distribución t.
• Calcula correctamente el error estándar.
• Encuentra el valor crítico Z o t correspondiente al nivel de confianza y grados de libertad.
• Interpreta el intervalo de confianza en el contexto del problema.

¡Sigan practicando con más ejercicios! Recuerden que la clave está en entender los conceptos y aplicar las fórmulas correctamente. ¡Mucho éxito en su examen!