Intervalo De Confianza Para La Diferencia De Medias Ejemplos Resueltos

Para construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias, primero necesitamos identificar si las poblaciones son independientes y si las varianzas son conocidas o desconocidas.

Aquí hay algunos ejemplos resueltos paso a paso.

Ejemplo 1: Varianzas Conocidas

Supongamos que tenemos dos poblaciones independientes. La población 1 tiene una media desconocida μ₁ y una desviación estándar conocida σ₁ = 10. La población 2 tiene una media desconocida μ₂ y una desviación estándar conocida σ₂ = 15. Tomamos muestras aleatorias de cada población. La muestra de la población 1 tiene un tamaño n₁ = 30 y una media muestral x̄₁ = 75. La muestra de la población 2 tiene un tamaño n₂ = 40 y una media muestral x̄₂ = 70.

Queremos construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias (μ₁ - μ₂).

Paso 1: Calcular la diferencia de las medias muestrales. Esto es simplemente x̄₁ - x̄₂ = 75 - 70 = 5.

Paso 2: Determinar el valor crítico Z. Para un intervalo de confianza del 95%, el nivel de significancia α = 1 - 0.95 = 0.05. Como estamos construyendo un intervalo de dos colas, dividimos α entre 2: α/2 = 0.025. Buscamos el valor Z correspondiente a 0.025 en la tabla Z o con una calculadora estadística. El valor Z es aproximadamente 1.96.

Paso 3: Calcular el error estándar. El error estándar para la diferencia de medias con varianzas conocidas se calcula como: √((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)). En este caso, es √((10²/30) + (15²/40)) = √(3.33 + 5.625) = √8.958 = 2.99.

Paso 4: Calcular el margen de error. El margen de error es el valor crítico Z multiplicado por el error estándar: 1.96 * 2.99 = 5.86.

Paso 5: Construir el intervalo de confianza. El intervalo de confianza es (diferencia de medias muestrales) ± (margen de error). Por lo tanto, el intervalo de confianza es 5 ± 5.86, que es (5 - 5.86, 5 + 5.86) = (-0.86, 10.86).

Interpretación: Estamos 95% seguros de que la diferencia verdadera entre las medias poblacionales (μ₁ - μ₂) está entre -0.86 y 10.86.

Ejemplo 2: Varianzas Desconocidas e Iguales

Tenemos dos grupos independientes. El grupo A tiene una muestra de tamaño n_A = 25, con una media muestral x̄_A = 68 y una desviación estándar muestral s_A = 8. El grupo B tiene una muestra de tamaño n_B = 30, con una media muestral x̄_B = 62 y una desviación estándar muestral s_B = 10. Asumimos que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

Queremos construir un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias (μ_A - μ_B).

Paso 1: Calcular la diferencia de las medias muestrales. x̄_A - x̄_B = 68 - 62 = 6.

Paso 2: Calcular la desviación estándar combinada (pooled standard deviation). s_p² = ((n_A - 1)s_A² + (n_B - 1)s_B²) / (n_A + n_B - 2). s_p² = ((24 * 8²) + (29 * 10²)) / (25 + 30 - 2) = (1536 + 2900) / 53 = 4436 / 53 = 83.698. Entonces s_p = √83.698 = 9.15.

Paso 3: Determinar los grados de libertad. Los grados de libertad son df = n_A + n_B - 2 = 25 + 30 - 2 = 53.

Paso 4: Determinar el valor crítico t. Para un intervalo de confianza del 90% y 53 grados de libertad (usaremos 50 grados de libertad por aproximación en la tabla t), el valor t es aproximadamente 1.676.

Paso 5: Calcular el error estándar. El error estándar se calcula como: s_p * √((1/n_A) + (1/n_B)) = 9.15 * √((1/25) + (1/30)) = 9.15 * √(0.04 + 0.033) = 9.15 * √0.0733 = 9.15 * 0.271 = 2.48.

Paso 6: Calcular el margen de error. El margen de error es el valor crítico t multiplicado por el error estándar: 1.676 * 2.48 = 4.16.

Paso 7: Construir el intervalo de confianza. El intervalo de confianza es (diferencia de medias muestrales) ± (margen de error). Por lo tanto, el intervalo de confianza es 6 ± 4.16, que es (6 - 4.16, 6 + 4.16) = (1.84, 10.16).

Interpretación: Estamos 90% seguros de que la diferencia verdadera entre las medias poblacionales (μ_A - μ_B) está entre 1.84 y 10.16.