Vamos a resolver la integral de X elevado a la N.
Paso 1: Identificar la Fórmula
Recordemos la fórmula básica de integración de potencias.
La fórmula es: ∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C.
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Aquí, n es cualquier número real excepto -1, y C es la constante de integración.
Paso 2: Aplicar la Fórmula
Ahora, aplicaremos la fórmula a nuestra integral.
Tenemos la integral: ∫xn dx.
Simplemente sustituimos en la fórmula.
Paso 3: Sustitución
Siguiendo la fórmula, sumamos 1 al exponente n.
Esto nos da n + 1.
Luego dividimos x elevado a (n+1) por (n+1).
Paso 4: Resultado Intermedio
Después de la sustitución, obtenemos (xn+1)/(n+1).
No olvidemos la constante de integración, C.
Esta constante representa la familia de antiderivadas.
Paso 5: La Constante de Integración
Siempre agregamos C a la integral indefinida.
La razón es que la derivada de una constante es cero.
Por lo tanto, al integrar, necesitamos incluir una constante arbitraria.
Paso 6: Resultado Final
El resultado final de la integral es (xn+1)/(n+1) + C.
Esta es la solución general para la integral de x elevado a n.
Recuerda que esto es válido para n ≠ -1.
Paso 7: Caso Especial: n = -1
Si n es igual a -1, la fórmula anterior no se aplica.
En este caso, tenemos la integral de 1/x.
La integral de 1/x es el logaritmo natural de |x|.
Paso 8: La Integral de 1/x
La integral de 1/x dx es ln|x| + C.
El valor absoluto se usa porque el logaritmo natural solo está definido para valores positivos.
Así que, ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
Paso 9: Resumen
Para la integral de xn dx:
Si n ≠ -1, la integral es (xn+1)/(n+1) + C.
Si n = -1, la integral es ln|x| + C.
Paso 10: Ejemplos
Ejemplo 1: ∫x2 dx = (x3)/3 + C.
Ejemplo 2: ∫x-2 dx = (x-1)/-1 + C = -1/x + C.
Ejemplo 3: ∫x0 dx = ∫1 dx = x + C.
Paso 11: Conclusión
Ahora puedes integrar x elevado a la n con confianza.
Recuerda la fórmula y el caso especial cuando n es -1.
Practica con diferentes valores de n para consolidar tu comprensión.
