Integracion Por Sustitucion Trigonometrica Ejercicios Resueltos Pdf

La integración por sustitución trigonométrica es una técnica útil para resolver integrales que involucran expresiones de la forma √(a² - x²), √(a² + x²), o √(x² - a²). Aquí, 'a' es una constante.

Veamos algunos ejemplos resueltos en formato PDF, pero explicados paso a paso aquí.

Ejemplo 1: ∫ dx / √(4 - x²)

Primero, identificamos la forma. Vemos que es √(a² - x²) con a² = 4, por lo tanto a = 2. La sustitución apropiada es x = a sin(θ), entonces x = 2 sin(θ). Calculamos dx: dx = 2 cos(θ) dθ.

Sustituimos x y dx en la integral original. ∫ (2 cos(θ) dθ) / √(4 - (2 sin(θ))²). Simplificamos el radical: √(4 - 4 sin²(θ)) = √(4(1 - sin²(θ))) = √(4 cos²(θ)) = 2 cos(θ).

La integral ahora es: ∫ (2 cos(θ) dθ) / (2 cos(θ)). Simplificamos, obteniendo: ∫ dθ. La integral de dθ es θ + C.

Regresamos a la variable original. Dado que x = 2 sin(θ), entonces sin(θ) = x/2. Por lo tanto, θ = arcsin(x/2). La respuesta final es: arcsin(x/2) + C.

Ejemplo 2: ∫ dx / (x²√(x² + 9))

Identificamos la forma: √(x² + a²) con a² = 9, entonces a = 3. La sustitución es x = a tan(θ), así x = 3 tan(θ). Calculamos dx: dx = 3 sec²(θ) dθ.

Sustituimos x y dx en la integral: ∫ (3 sec²(θ) dθ) / ((3 tan(θ))²√((3 tan(θ))² + 9)). Simplificamos el radical: √((9 tan²(θ) + 9)) = √(9(tan²(θ) + 1)) = √(9 sec²(θ)) = 3 sec(θ).

La integral se convierte en: ∫ (3 sec²(θ) dθ) / (9 tan²(θ) * 3 sec(θ)). Simplificamos: ∫ sec(θ) dθ / (9 tan²(θ)). Reescribimos en términos de seno y coseno: ∫ cos(θ) dθ / (9 sin²(θ) / cos²(θ)) = ∫ cos³(θ) dθ / (9 sin²(θ)).

Reescribimos: (1/9) ∫ (cos(θ) / sin²(θ)) * cos²(θ) dθ. Sustituimos cos²(θ) = 1 - sin²(θ). Esto da: (1/9) ∫ (cos(θ) / sin²(θ)) * (1 - sin²(θ)) dθ. Simplificamos: (1/9) ∫ (cos(θ) / sin²(θ) - cos(θ)) dθ.

Separamos la integral: (1/9) ∫ (csc(θ)cot(θ)) dθ - (1/9) ∫ cos(θ) dθ. Resolvemos: (-1/9)csc(θ) - (1/9)sin(θ) + C.

Regresamos a la variable original. x = 3 tan(θ), entonces tan(θ) = x/3. Dibujamos un triángulo rectángulo. Oposite: x, Adjacent: 3, Hypotenuse: √(x² + 9). csc(θ) = √(x² + 9) / x, sin(θ) = x / √(x² + 9)

Sustituimos: (-1/9)(√(x² + 9) / x) - (1/9)(x / √(x² + 9)) + C. Simplificamos: -√(x² + 9) / (9x) + C.

Ejemplo 3: ∫ √(16 - x²) dx

Aquí, a² = 16, por lo tanto a = 4. La sustitución es x = 4 sin(θ). Calculamos dx: dx = 4 cos(θ) dθ.

Sustituimos en la integral original: ∫ √(16 - (4 sin(θ))²) * 4 cos(θ) dθ. Simplificamos: ∫ √(16 - 16 sin²(θ)) * 4 cos(θ) dθ = ∫ √(16(1 - sin²(θ))) * 4 cos(θ) dθ.

Simplificamos el radical: √(16 cos²(θ)) = 4 cos(θ). La integral se convierte en: ∫ 4 cos(θ) * 4 cos(θ) dθ = ∫ 16 cos²(θ) dθ.

Usamos la identidad trigonométrica cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2. Entonces: ∫ 16 * (1 + cos(2θ)) / 2 dθ = ∫ 8 (1 + cos(2θ)) dθ.

Integramos: 8 ∫ (1 + cos(2θ)) dθ = 8[θ + (1/2)sin(2θ)] + C. Simplificamos: 8θ + 4sin(2θ) + C. Usamos la identidad sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

Entonces: 8θ + 8sin(θ)cos(θ) + C. Regresamos a la variable original. x = 4 sin(θ), entonces sin(θ) = x/4. θ = arcsin(x/4). Dibujamos un triángulo rectángulo. Oposite: x, Hypotenuse: 4, Adjacent: √(16 - x²). cos(θ) = √(16 - x²) / 4.

Sustituimos: 8 arcsin(x/4) + 8(x/4)(√(16 - x²) / 4) + C. Simplificamos: 8 arcsin(x/4) + (x√(16 - x²)) / 2 + C.