Vamos a resolver la integral ∫x cos(x) dx usando el método de integración por partes.
Identificar u y dv
Primero, necesitamos identificar las partes u y dv. Seleccionaremos u = x. Entonces, dv = cos(x) dx.
Calcular du y v
Ahora, calculamos du y v. Si u = x, entonces du = dx. Si dv = cos(x) dx, entonces v = ∫cos(x) dx = sin(x).
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Aplicar la Fórmula de Integración por Partes
La fórmula de integración por partes es: ∫u dv = uv - ∫v du.
Sustituimos nuestros valores: ∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫sin(x) dx.
Resolver la Integral Resultante
Ahora, necesitamos resolver la integral ∫sin(x) dx. Sabemos que ∫sin(x) dx = -cos(x).
Sustituir y Simplificar
Sustituimos este resultado en nuestra ecuación anterior: x sin(x) - (-cos(x)).
Simplificamos: x sin(x) + cos(x).
Añadir la Constante de Integración
Finalmente, añadimos la constante de integración C: x sin(x) + cos(x) + C.
Solución Final
Por lo tanto, la solución a la integral ∫x cos(x) dx es x sin(x) + cos(x) + C.
Resumen de los Pasos
Hemos utilizado la integración por partes para resolver esta integral. Primero, identificamos u y dv. Luego, calculamos du y v. Aplicamos la fórmula de integración por partes. Después, resolvimos la integral resultante y simplificamos. Finalmente, añadimos la constante de integración.
Este proceso nos permite desglosar una integral compleja en partes más manejables. La clave está en la correcta identificación de u y dv. La selección de u a menudo se basa en la regla ILATE (Inversas, Logarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales) para facilitar la integración del término restante.
Recuerde verificar su resultado derivando la solución obtenida. La derivada de x sin(x) + cos(x) + C debe ser igual a x cos(x). Esto confirma la exactitud de la integración.
La práctica es fundamental para dominar la integración por partes. Intente resolver más ejercicios similares. Familiarícese con la fórmula y la estrategia de selección de u y dv. Cuanto más practique, más fácil le resultará identificar la técnica apropiada para cada integral.
En resumen, hemos logrado resolver ∫x cos(x) dx mediante una aplicación metódica de la integración por partes. La solución es: x sin(x) + cos(x) + C. Esperamos que esta guía le haya sido útil para comprender mejor este concepto.
