Inecuaciones Cuadraticas Ejercicios Resueltos Paso A Paso

Aquí te presento ejemplos de cómo resolver inecuaciones cuadráticas paso a paso. Usaremos un lenguaje claro y ejemplos para facilitar la comprensión.

Ejemplo 1: x² - 5x + 6 > 0

Paso 1: Factorizar la expresión cuadrática.

En este caso, buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5. Esos números son -2 y -3.

Por lo tanto, la factorización es: (x - 2)(x - 3) > 0

Paso 2: Encontrar los puntos críticos.

Los puntos críticos son los valores de x que hacen que la expresión (x - 2)(x - 3) sea igual a cero.

Resolvemos: x - 2 = 0 => x = 2, y x - 3 = 0 => x = 3.

Paso 3: Crear una tabla de signos.

Dividimos la recta numérica en tres intervalos usando los puntos críticos 2 y 3: (-∞, 2), (2, 3), y (3, ∞).

En cada intervalo, elegimos un valor de prueba para x y evaluamos el signo de (x - 2) y (x - 3).

• Intervalo (-∞, 2): x = 0. (0 - 2) es negativo, (0 - 3) es negativo. Negativo * Negativo = Positivo.
• Intervalo (2, 3): x = 2.5. (2.5 - 2) es positivo, (2.5 - 3) es negativo. Positivo * Negativo = Negativo.
• Intervalo (3, ∞): x = 4. (4 - 2) es positivo, (4 - 3) es positivo. Positivo * Positivo = Positivo.

Paso 4: Determinar la solución.

Queremos encontrar los intervalos donde (x - 2)(x - 3) > 0 (positivo). De la tabla de signos, vemos que esto ocurre en los intervalos (-∞, 2) y (3, ∞).

Por lo tanto, la solución es: x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, ∞).

Ejemplo 2: 2x² + 4x - 6 ≤ 0

Paso 1: Simplificar la inecuación (si es posible).

Podemos dividir toda la inecuación por 2: x² + 2x - 3 ≤ 0.

Paso 2: Factorizar la expresión cuadrática.

Buscamos dos números que multiplicados den -3 y sumados den 2. Esos números son 3 y -1.

La factorización es: (x + 3)(x - 1) ≤ 0.

Paso 3: Encontrar los puntos críticos.

Resolvemos: x + 3 = 0 => x = -3, y x - 1 = 0 => x = 1.

Paso 4: Crear una tabla de signos.

Dividimos la recta numérica en los intervalos: (-∞, -3), (-3, 1), y (1, ∞).

• Intervalo (-∞, -3): x = -4. (-4 + 3) es negativo, (-4 - 1) es negativo. Negativo * Negativo = Positivo.
• Intervalo (-3, 1): x = 0. (0 + 3) es positivo, (0 - 1) es negativo. Positivo * Negativo = Negativo.
• Intervalo (1, ∞): x = 2. (2 + 3) es positivo, (2 - 1) es positivo. Positivo * Positivo = Positivo.

Paso 5: Determinar la solución.

Queremos encontrar los intervalos donde (x + 3)(x - 1) ≤ 0 (negativo o cero). De la tabla de signos, vemos que esto ocurre en el intervalo (-3, 1). Como la inecuación es ≤, incluimos los puntos críticos.

Por lo tanto, la solución es: x ∈ [-3, 1].

Ejemplo 3: x² - 4 < 0

Paso 1: Factorizar la expresión cuadrática.

Esta es una diferencia de cuadrados: (x - 2)(x + 2) < 0.

Paso 2: Encontrar los puntos críticos.

Resolvemos: x - 2 = 0 => x = 2, y x + 2 = 0 => x = -2.

Paso 3: Crear una tabla de signos.

Dividimos la recta numérica en los intervalos: (-∞, -2), (-2, 2), y (2, ∞).

• Intervalo (-∞, -2): x = -3. (-3 - 2) es negativo, (-3 + 2) es negativo. Negativo * Negativo = Positivo.
• Intervalo (-2, 2): x = 0. (0 - 2) es negativo, (0 + 2) es positivo. Negativo * Positivo = Negativo.
• Intervalo (2, ∞): x = 3. (3 - 2) es positivo, (3 + 2) es positivo. Positivo * Positivo = Positivo.

Paso 4: Determinar la solución.

Queremos encontrar los intervalos donde (x - 2)(x + 2) < 0 (negativo). De la tabla de signos, vemos que esto ocurre en el intervalo (-2, 2).

Por lo tanto, la solución es: x ∈ (-2, 2).

Estos ejemplos te ayudarán a comprender cómo resolver inecuaciones cuadráticas. Recuerda, la clave es factorizar, encontrar los puntos críticos, y analizar los signos.