Una transformación lineal es una función especial entre espacios vectoriales. Transforma vectores de un espacio (el dominio) a otro (el codominio) respetando ciertas reglas. Para entender mejor, imaginemos que tenemos una máquina. Esta máquina toma un vector, lo modifica y lo escupe como otro vector. Esa es una transformación lineal.
Núcleo de una Transformación Lineal
El núcleo (o kernel) de una transformación lineal es un conjunto específico de vectores. Piensa en todos los vectores que, al entrar en nuestra "máquina" (la transformación), salen como el vector cero. Este conjunto de "vectores que mueren" dentro de la máquina es el núcleo.
Definición: El núcleo de una transformación lineal T, denotado como ker(T), es el conjunto de todos los vectores v en el dominio de T tales que T(v) = 0.
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Ejemplo: Imagina una transformación que "aplana" todos los vectores en el plano XY en el eje X. O sea, (x, y) se transforma en (x, 0). Cualquier vector que tenga la forma (0, y) – donde x=0 - se transforma en (0, 0). Entonces, el núcleo de esta transformación es el eje Y, es decir, todos los vectores (0, y).
Cómo encontrar el núcleo:
- Aplica la transformación lineal a un vector genérico (por ejemplo, (x, y) o (x, y, z)).
- Iguala el resultado al vector cero (por ejemplo, (0, 0) o (0, 0, 0)).
- Resuelve el sistema de ecuaciones resultante. Las soluciones te darán la forma de los vectores que pertenecen al núcleo.
Imagen de una Transformación Lineal
La imagen (o rango) de una transformación lineal es otro conjunto importante. Es el conjunto de todos los vectores posibles que pueden salir de nuestra "máquina". En otras palabras, son todos los vectores que podemos obtener al aplicar la transformación a todos los vectores posibles del dominio.
Definición: La imagen de una transformación lineal T, denotada como im(T), es el conjunto de todos los vectores w en el codominio de T tales que existe un vector v en el dominio de T donde T(v) = w.
Ejemplo: Volviendo a la transformación que "aplana" el plano XY en el eje X ( (x, y) -> (x, 0) ), la imagen es el eje X. Cualquier vector en el eje X puede ser obtenido al aplicar la transformación a algún vector en el plano XY.
Cómo encontrar la imagen:
- Considera una base del dominio.
- Aplica la transformación lineal a cada vector de la base.
- El conjunto de vectores resultantes genera la imagen de la transformación. Es decir, la imagen es el espacio generado por estos vectores transformados.
En resumen: El núcleo te dice qué "se pierde" en la transformación (qué vectores van a cero), y la imagen te dice qué "se alcanza" con la transformación (qué vectores son posibles resultados).
