Find All Normal Subgroups Of S4

El objetivo de este artículo es encontrar todos los subgrupos normales de S₄, el grupo simétrico de grado 4. Comenzamos con la definición:

Definición: Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal si para todo g ∈ G, gNg^-1 = N. Equivalentemente, gN = Ng para todo g ∈ G. Esto significa que las clases laterales izquierdas y derechas de N en G son las mismas.

Ahora, encontremos los subgrupos normales de S₄ paso a paso:

1. Identificar subgrupos triviales: {e} (el subgrupo trivial que contiene solo la identidad) y S₄ son siempre subgrupos normales.
2. El subgrupo de Klein, V: V = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} es un subgrupo normal de S₄. Para verificar esto, se puede conjugar cada elemento de V por elementos de S₄ y mostrar que el resultado siempre permanece en V.
3. A₄ (el grupo alternante de grado 4): A₄, el conjunto de todas las permutaciones pares en S₄, es un subgrupo normal de S₄. Esto se debe a que A₄ tiene índice 2 en S₄. Cualquier subgrupo de índice 2 es normal.
4. Considerar otros posibles subgrupos: No existen otros subgrupos normales en S₄. Por ejemplo, un subgrupo de orden 3 generado por un 3-ciclo no es normal. Tomemos el subgrupo generado por (1 2 3). La conjugación por (1 2) da (2 1 3) = (1 3 2), que no está en el subgrupo original.

Por lo tanto, los subgrupos normales de S₄ son: {e}, V, A₄, y S₄.

Aplicaciones: El conocimiento de los subgrupos normales es crucial para construir grupos cociente. Por ejemplo, S₄/A₄ es isomorfo a Z₂. También, el estudio de subgrupos normales ayuda a comprender la estructura interna de un grupo, lo cual es fundamental en teoría de Galois para determinar si un polinomio es resoluble por radicales.