Hola! Vamos a resolver ejercicios de probabilidad conjunta, marginal y condicional. Lo haremos paso a paso.
Ejemplo 1: Dados y Eventos
Consideremos el lanzamiento de dos dados. Definimos los siguientes eventos:
- A: La suma de los dados es 7.
- B: Al menos un dado muestra un 6.
Calcularemos las probabilidades conjunta, marginal y condicional.
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1. Probabilidad Conjunta: P(A y B)
Queremos saber P(A ∩ B). Esto significa, la probabilidad de que la suma sea 7 y al menos un dado muestre 6.
Primero, identificamos los resultados que cumplen A y B simultáneamente. El único resultado posible es (6,1) o (1,6).
El espacio muestral total tiene 36 resultados (6 resultados para el primer dado * 6 resultados para el segundo dado).
Por lo tanto, P(A ∩ B) = 2/36 = 1/18.
2. Probabilidad Marginal: P(A) y P(B)
Probabilidad marginal significa la probabilidad de un evento sin considerar otro.
P(A): Probabilidad de que la suma sea 7.
Los resultados que suman 7 son: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Hay 6 resultados.
Entonces, P(A) = 6/36 = 1/6.
P(B): Probabilidad de que al menos un dado muestre un 6.
Los resultados son: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6). Hay 11 resultados.
Entonces, P(B) = 11/36.
3. Probabilidad Condicional: P(A|B) y P(B|A)
Probabilidad condicional significa la probabilidad de un evento dado que otro evento ya ocurrió.
P(A|B): Probabilidad de que la suma sea 7 dado que al menos un dado muestra 6.
Usamos la fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Ya calculamos P(A ∩ B) = 1/18 y P(B) = 11/36.
Entonces, P(A|B) = (1/18) / (11/36) = (1/18) * (36/11) = 2/11.
P(B|A): Probabilidad de que al menos un dado muestre 6 dado que la suma es 7.
Usamos la fórmula: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).
Ya calculamos P(A ∩ B) = 1/18 y P(A) = 1/6.
Entonces, P(B|A) = (1/18) / (1/6) = (1/18) * (6/1) = 1/3.
Ejemplo 2: Encuesta y Preferencias
Se realizó una encuesta. Se preguntó sobre la preferencia por dos productos: A y B.
Definimos los eventos:
- A: Prefiere el producto A.
- B: Prefiere el producto B.
Los datos son:
- P(A) = 0.6 (60% prefiere el producto A)
- P(B) = 0.5 (50% prefiere el producto B)
- P(A ∩ B) = 0.3 (30% prefiere ambos productos)
Calcularemos la probabilidad marginal y condicional.
1. Probabilidad Marginal: Ya dada
Las probabilidades marginales P(A) y P(B) ya están dadas en el problema: P(A) = 0.6 y P(B) = 0.5.
2. Probabilidad Condicional: P(A|B) y P(B|A)
P(A|B): Probabilidad de preferir el producto A dado que prefiere el producto B.
Usamos la fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
P(A ∩ B) = 0.3 y P(B) = 0.5.
Entonces, P(A|B) = 0.3 / 0.5 = 0.6.
P(B|A): Probabilidad de preferir el producto B dado que prefiere el producto A.
Usamos la fórmula: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).
P(A ∩ B) = 0.3 y P(A) = 0.6.
Entonces, P(B|A) = 0.3 / 0.6 = 0.5.
Con estos ejemplos, has visto cómo calcular las diferentes probabilidades. ¡Sigue practicando!
