Ejemplos De La Suma De Riemann

Vamos a explorar ejemplos de la Suma de Riemann. Descompondremos cada problema en pasos sencillos. Resolveremos cada paso individualmente. Combinaremos los resultados para la solución final.

Ejemplo 1: Aproximación de un área bajo una curva.

Consideremos la función f(x) = x² en el intervalo [0, 2]. Queremos aproximar el área bajo la curva. Usaremos 4 rectángulos.

Primero, dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos iguales. La longitud de cada subintervalo es (2 - 0) / 4 = 0.5. Los puntos de división son 0, 0.5, 1, 1.5 y 2.

Ahora, elegimos el punto de muestra en cada subintervalo. Usaremos el punto derecho. Los puntos de muestra son 0.5, 1, 1.5 y 2. Calculamos el valor de la función en cada punto de muestra: f(0.5) = 0.25, f(1) = 1, f(1.5) = 2.25, f(2) = 4.

Calculamos el área de cada rectángulo. El área es la base (0.5) multiplicada por la altura (el valor de la función en el punto de muestra). Las áreas son: 0.5 * 0.25 = 0.125, 0.5 * 1 = 0.5, 0.5 * 2.25 = 1.125, 0.5 * 4 = 2.

Sumamos las áreas de los rectángulos. La Suma de Riemann es 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 = 3.75. Esta es una aproximación del área bajo la curva.

Ejemplo 2: Usando el punto izquierdo.

Repetiremos el ejemplo anterior. Usaremos la misma función f(x) = x² en el intervalo [0, 2]. Usaremos 4 rectángulos. Esta vez, usaremos el punto izquierdo para la altura del rectángulo.

La división del intervalo [0, 2] sigue siendo la misma. Los puntos de división son 0, 0.5, 1, 1.5 y 2. La longitud de cada subintervalo es 0.5.

Ahora, elegimos el punto de muestra en cada subintervalo. Usaremos el punto izquierdo. Los puntos de muestra son 0, 0.5, 1 y 1.5. Calculamos el valor de la función en cada punto de muestra: f(0) = 0, f(0.5) = 0.25, f(1) = 1, f(1.5) = 2.25.

Calculamos el área de cada rectángulo. Las áreas son: 0.5 * 0 = 0, 0.5 * 0.25 = 0.125, 0.5 * 1 = 0.5, 0.5 * 2.25 = 1.125.

Sumamos las áreas de los rectángulos. La Suma de Riemann es 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 = 1.75. Esta es otra aproximación del área bajo la curva.

Ejemplo 3: Suma de Riemann con una función diferente.

Consideremos la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π]. Queremos aproximar el área bajo la curva. Usaremos 3 rectángulos y el punto medio.

Dividimos el intervalo [0, π] en 3 subintervalos iguales. La longitud de cada subintervalo es π/3. Los puntos de división son 0, π/3, 2π/3 y π.

Elegimos el punto medio de cada subintervalo. Los puntos medios son π/6, π/2 y 5π/6. Calculamos el valor de la función en cada punto medio: f(π/6) = sen(π/6) = 0.5, f(π/2) = sen(π/2) = 1, f(5π/6) = sen(5π/6) = 0.5.

Calculamos el área de cada rectángulo. Las áreas son: (π/3) * 0.5 = π/6, (π/3) * 1 = π/3, (π/3) * 0.5 = π/6.

Sumamos las áreas de los rectángulos. La Suma de Riemann es π/6 + π/3 + π/6 = (4π)/6 = (2π)/3 ≈ 2.094. Esta es una aproximación del área bajo la curva sen(x) en el intervalo [0, π].

Estos ejemplos muestran cómo calcular la Suma de Riemann. La elección del punto de muestra afecta la precisión de la aproximación. Aumentar el número de rectángulos generalmente mejora la aproximación del área bajo la curva.