Ecuaciones Diferenciales Variables Separables Ejercicios Resueltos

Las ecuaciones diferenciales de variables separables son un tipo especial de ecuación diferencial que podemos resolver directamente. La clave está en poder separar las variables x e y en lados opuestos de la ecuación.

¿Qué significa separar las variables?

Imagina que tienes una ecuación donde aparecen y, dy (diferencial de y), x y dx (diferencial de x) mezclados. Separar las variables significa reescribir la ecuación de tal manera que todos los términos que contengan y e y' (derivada de y) estén en un lado (digamos, el izquierdo) y todos los términos que contengan x estén en el otro lado (el derecho). La forma general después de la separación es:

f(y) dy = g(x) dx

Aquí, f(y) es una función solo de y y g(x) es una función solo de x.

Pasos para resolver ecuaciones de variables separables:

1. Identificar la ecuación: Asegúrate de que la ecuación se pueda escribir en la forma dy/dx = f(x, y).
2. Separar las variables: Manipula algebraicamente la ecuación para obtener la forma f(y) dy = g(x) dx. Esto a menudo implica multiplicar o dividir ambos lados por funciones apropiadas de x o y.
3. Integrar ambos lados: Integra ambos lados de la ecuación con respecto a su variable respectiva. Recuerda agregar la constante de integración (C) a uno de los lados (generalmente al lado derecho).
4. Resolver para y: Si es posible, despeja y en función de x para obtener la solución explícita. Si no es posible despejar y, la solución se deja en forma implícita.

Ejemplo resuelto:

Resolvamos la ecuación diferencial: dy/dx = x/y

1. Separar las variables: Multiplicamos ambos lados por y y por dx: y dy = x dx
2. Integrar ambos lados: ∫ y dy = ∫ x dx. Esto nos da: y²/2 = x²/2 + C
3. Resolver para y: Multiplicamos todo por 2: y² = x² + 2C. Como 2C es una constante, podemos simplemente escribirla como C: y² = x² + C. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada: y = ±√(x² + C)

Otro ejemplo:

Resolvamos la ecuación diferencial: dy/dx = e^x+y

1. Separar las variables: Recordamos que e^x+y = e^x * e^y. Entonces, dy/dx = e^x * e^y. Dividimos ambos lados por e^y y multiplicamos por dx: e^-y dy = e^x dx
2. Integrar ambos lados: ∫ e^-y dy = ∫ e^x dx. Esto nos da: -e^-y = e^x + C
3. Resolver para y: Multiplicamos por -1: e^-y = -e^x - C. Tomamos el logaritmo natural de ambos lados: -y = ln(-e^x - C). Finalmente, multiplicamos por -1: y = -ln(-e^x - C)

Puntos importantes:

• La clave está en identificar si una ecuación es separable.
• Recuerda siempre la constante de integración (C).
• A veces, la solución puede estar en forma implícita.

Practica con muchos ejercicios para dominar esta técnica. ¡Buena suerte!