Ecuaciones Diferenciales No Homogeneas Ejercicios Resueltos

Resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas puede parecer complicado al principio. Pero con práctica y un enfoque paso a paso, se vuelve más sencillo. Aquí te mostraré cómo resolver algunos ejercicios resueltos.

Método de Coeficientes Indeterminados

Este método se usa cuando la función no homogénea es de una forma específica. Por ejemplo, polinomios, exponenciales, senos o cosenos. El primer paso es encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada.

Ejemplo 1: Resolver y'' - 3y' - 4y = 3e^2t. Primero, encontramos la solución de y'' - 3y' - 4y = 0. La ecuación característica es r² - 3r - 4 = 0. Factorizando, obtenemos (r - 4)(r + 1) = 0. Las raíces son r₁ = 4 y r₂ = -1. Por lo tanto, y_c = c₁e^4t + c₂e^-t.

Ahora, proponemos una solución particular y_p = Ae^2t. Calculamos las derivadas: y'_p = 2Ae^2t y y''_p = 4Ae^2t. Sustituimos en la ecuación original: 4Ae^2t - 3(2Ae^2t) - 4(Ae^2t) = 3e^2t. Simplificando: 4Ae^2t - 6Ae^2t - 4Ae^2t = 3e^2t. Esto da: -6Ae^2t = 3e^2t. Por lo tanto, A = -1/2. Entonces, y_p = -1/2 e^2t.

La solución general es la suma de la solución complementaria y la solución particular: y = y_c + y_p = c₁e^4t + c₂e^-t - 1/2 e^2t. Esta es la solución final para este problema.

Ejemplo 2: Resolver y'' + 2y' + y = t². La ecuación homogénea asociada es y'' + 2y' + y = 0. La ecuación característica es r² + 2r + 1 = 0. Factorizando, obtenemos (r + 1)² = 0. La raíz repetida es r = -1. Por lo tanto, y_c = c₁e^-t + c₂te^-t.

Proponemos una solución particular y_p = At² + Bt + C. Calculamos las derivadas: y'_p = 2At + B y y''_p = 2A. Sustituimos en la ecuación original: 2A + 2(2At + B) + (At² + Bt + C) = t². Agrupando términos: At² + (4A + B)t + (2A + 2B + C) = t². Igualando coeficientes: A = 1, 4A + B = 0 y 2A + 2B + C = 0.

De A = 1, obtenemos B = -4. Luego, 2(1) + 2(-4) + C = 0, lo que implica C = 6. Por lo tanto, y_p = t² - 4t + 6. La solución general es y = y_c + y_p = c₁e^-t + c₂te^-t + t² - 4t + 6.

Variación de Parámetros

Este método es más general que el de coeficientes indeterminados. Se puede usar incluso cuando la función no homogénea no tiene una forma específica. Es más complicado, pero más versátil.

Los ejercicios de ecuaciones diferenciales no homogéneas pueden ser desafiantes. Pero al seguir estos pasos y practicar con varios ejemplos, desarrollarás una mejor comprensión. Recuerda siempre verificar tus respuestas y repasar los conceptos básicos.