Vamos a explorar las ecuaciones de cuatro figuras geométricas importantes: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Cada una tiene su propia ecuación que describe sus características.
La Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto central. Esta distancia se llama radio.
Su ecuación es: (x - h)² + (y - k)² = r²
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Aquí:
- (x, y) representa cualquier punto en la circunferencia.
- (h, k) representa las coordenadas del centro de la circunferencia.
- r representa la longitud del radio.
Por ejemplo, si el centro está en (2, 3) y el radio es 5, la ecuación sería: (x - 2)² + (y - 3)² = 25.
La Parábola
Una parábola es una curva que se forma cuando todos los puntos están a la misma distancia de un punto fijo (el foco) y una línea fija (la directriz).
Hay varias formas de su ecuación, pero una común es: y = ax² + bx + c
Aquí:
- x e y son las coordenadas de cualquier punto en la parábola.
- a, b, y c son constantes que determinan la forma y la posición de la parábola. Si 'a' es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si 'a' es negativo, se abre hacia abajo.
Otra forma común es: (x - h)² = 4p(y - k), donde (h,k) es el vértice y 'p' es la distancia del vértice al foco.
Imagina lanzar una pelota al aire. La trayectoria que sigue se asemeja a una parábola.
La Elipse
Una elipse es como un círculo estirado. Es el conjunto de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.
Su ecuación es: (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
Aquí:
- (x, y) son las coordenadas de cualquier punto en la elipse.
- (h, k) es el centro de la elipse.
- a es la longitud del semi-eje mayor (la mitad del eje más largo).
- b es la longitud del semi-eje menor (la mitad del eje más corto).
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse, aunque muy cercana a un círculo.
La Hipérbola
Una hipérbola es una curva que tiene dos ramas. Es el conjunto de todos los puntos cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.
Su ecuación es: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 o (y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1
Aquí:
- (x, y) son las coordenadas de cualquier punto en la hipérbola.
- (h, k) es el centro de la hipérbola.
- a y b son constantes que determinan la forma de la hipérbola.
La diferencia entre las dos ecuaciones determina si la hipérbola se abre horizontalmente o verticalmente.
Las trayectorias de algunos cometas que solo se acercan al Sol una vez, antes de alejarse para siempre, pueden describirse como hipérbolas.
