Vamos a explorar cómo encontrar el dominio de una función de varias variables. Usaremos ejemplos resueltos paso a paso.
Ejemplo 1: Función con Raíz Cuadrada
Consideremos la función: f(x, y) = √(9 - x² - y²). Necesitamos encontrar todos los pares (x, y) para los cuales esta función está definida. Esto significa que el radicando (lo que está dentro de la raíz) debe ser mayor o igual a cero.
Paso 1: Establecer la condición. 9 - x² - y² ≥ 0.
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Paso 2: Reorganizar la desigualdad. x² + y² ≤ 9.
Paso 3: Identificar la región. Esta desigualdad representa todos los puntos (x, y) que están dentro o sobre el círculo con centro en (0, 0) y radio 3.
Paso 4: Expresar el dominio. El dominio de f(x, y) es {(x, y) ∈ ℝ² | x² + y² ≤ 9}. Esto significa que el dominio es un disco cerrado centrado en el origen.
Ejemplo 2: Función con Denominador
Consideremos la función: g(x, y) = 1 / (x - y). El denominador no puede ser cero.
Paso 1: Identificar la restricción. x - y ≠ 0.
Paso 2: Aislar la variable. x ≠ y.
Paso 3: Interpretar la restricción. Esto significa que el dominio son todos los puntos (x, y) excepto aquellos que están sobre la línea y = x.
Paso 4: Expresar el dominio. El dominio de g(x, y) es {(x, y) ∈ ℝ² | x ≠ y}. Es todo el plano ℝ² menos la línea y = x.
Ejemplo 3: Función con Raíz y Denominador
Consideremos la función: h(x, y) = √(x + y) / (x - 1). Tenemos dos restricciones: la raíz cuadrada y el denominador.
Paso 1: Restricción de la raíz cuadrada. x + y ≥ 0.
Paso 2: Restricción del denominador. x - 1 ≠ 0.
Paso 3: Reorganizar las desigualdades. y ≥ -x y x ≠ 1.
Paso 4: Interpretar las restricciones. La primera restricción significa que (x, y) debe estar arriba o sobre la línea y = -x. La segunda restricción significa que x no puede ser igual a 1. Es una línea vertical que debemos excluir.
Paso 5: Expresar el dominio. El dominio de h(x, y) es {(x, y) ∈ ℝ² | x + y ≥ 0 y x ≠ 1}.
Ejemplo 4: Función Logarítmica
Consideremos la función: l(x,y) = ln(xy). El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.
Paso 1: Identificar la restricción. xy > 0.
Paso 2: Analizar la restricción. Para que el producto de x e y sea positivo, ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos.
Paso 3: Expresar el dominio. El dominio de l(x,y) es {(x, y) ∈ ℝ² | x > 0 e y > 0} ∪ {(x, y) ∈ ℝ² | x < 0 e y < 0}. Esto corresponde a los cuadrantes I y III en el plano cartesiano.
Recuerda que el dominio de una función de varias variables es el conjunto de todos los puntos para los cuales la función está definida. Identifica las restricciones (raíces, denominadores, logaritmos, etc.) y luego expresa el dominio de forma clara.
