Distribución De Probabilidad De Poisson Ejercicios Resueltos

La Distribución de Poisson es una herramienta estadística útil. Sirve para calcular la probabilidad de que ocurran un número específico de eventos en un período de tiempo o lugar fijo. Estos eventos deben ocurrir de forma independiente y a una tasa promedio conocida.

¿Qué significa esto exactamente?

Eventos independientes: Cada evento no afecta al siguiente. Si tienes una tienda, la llegada de un cliente no hace que sea más o menos probable que otro cliente llegue pronto.

Tasa promedio conocida: Sabemos, en promedio, cuántos eventos ocurren en un periodo dado. Por ejemplo, en promedio, recibes 5 llamadas telefónicas por hora.

Fórmula de Poisson

La fórmula es así: P(x) = (e^-λ * λ^x) / x!

Vamos a desglosarla:

• P(x) = La probabilidad de observar exactamente x eventos.
• λ (lambda) = La tasa promedio de ocurrencia.
• e = La constante de Euler (aproximadamente 2.71828).
• x = El número de eventos que queremos calcular la probabilidad.
• x! = El factorial de x (x! = x * (x-1) * (x-2) * ... * 1).

Ejemplo Resuelto 1

Imagina que una línea de atención al cliente recibe un promedio de 10 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en una hora?

Aquí, λ = 10 (tasa promedio) y x = 5 (número de llamadas). Aplicamos la fórmula:

P(5) = (e^-10 * 10⁵) / 5!

Calculando, P(5) ≈ 0.0378. Esto significa que hay aproximadamente un 3.78% de probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en una hora.

Ejemplo Resuelto 2

Un sitio web recibe un promedio de 20 visitantes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que no reciba ningún visitante en un minuto?

Aquí, λ = 20 y x = 0. Aplicamos la fórmula:

P(0) = (e^-20 * 20⁰) / 0!

Recuerda que cualquier número elevado a la potencia 0 es 1, y 0! = 1. Por lo tanto:

P(0) = e^-20 ≈ 2.06 * 10^-9.

Esta probabilidad es extremadamente baja. Es muy poco probable que el sitio web no reciba visitantes en un minuto.

Cuándo usar la Distribución de Poisson

Usa la Distribución de Poisson cuando:

• Estés contando la ocurrencia de eventos.
• Los eventos ocurren independientemente.
• Conozcas la tasa promedio de ocurrencia.
• Estés interesado en el número de eventos que ocurren en un intervalo específico (tiempo, área, volumen).

La Distribución de Poisson es una herramienta poderosa para analizar eventos raros o poco frecuentes, lo que la hace útil en diversas áreas como la gestión de colas, el control de calidad y la investigación médica.