Derivada Del Coseno Al Cuadrado

Vamos a encontrar la derivada de la función coseno al cuadrado, que se escribe como cos²(x). Recuerda que cos²(x) es lo mismo que (cos(x))². Esto es importante para aplicar la regla de la cadena.

Paso 1: Identificar la Función Externa e Interna

Primero, necesitamos identificar la función externa e interna. La función externa es la función "al cuadrado" (elevar a la potencia 2). La función interna es la función cos(x). Piénsalo como una muñeca rusa; la función coseno está dentro de la función "elevar al cuadrado".

Paso 2: Aplicar la Regla de la Cadena

La regla de la cadena nos dice cómo derivar funciones compuestas. La regla es: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x). Esto significa que derivamos la función externa, evaluada en la función interna, y luego multiplicamos por la derivada de la función interna.

Paso 3: Derivar la Función Externa

La función externa es u², donde u = cos(x). La derivada de u² con respecto a u es 2u. Usamos la regla de la potencia: d/du (uⁿ) = n * u^n-1. En nuestro caso, n=2.

Paso 4: Evaluar la Derivada Externa en la Función Interna

Ahora, reemplazamos u con cos(x) en la derivada de la función externa. Esto nos da 2cos(x). Recuerda, estamos evaluando la derivada de la función externa en la función interna.

Paso 5: Derivar la Función Interna

La función interna es cos(x). La derivada de cos(x) es -sin(x). Esta es una derivada que debes recordar. d/dx [cos(x)] = -sin(x).

Paso 6: Multiplicar las Derivadas

Ahora, multiplicamos la derivada de la función externa (evaluada en la función interna) por la derivada de la función interna. Esto es: 2cos(x) * (-sin(x)). Este paso es el corazón de la regla de la cadena.

Paso 7: Simplificar (Opcional)

Podemos simplificar la expresión 2cos(x) * (-sin(x)). Esto es igual a -2cos(x)sin(x). A veces, puedes ver esta respuesta escrita como -sin(2x), usando la identidad trigonométrica del ángulo doble: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Ambas respuestas son correctas.

Resultado Final

Por lo tanto, la derivada de cos²(x) es -2cos(x)sin(x) o -sin(2x). Recuerda usar la regla de la cadena, identificar correctamente las funciones interna y externa, y derivar cada una con cuidado. La práctica te ayudará a dominar esta técnica.

En resumen: la derivada de cos²(x) es -2cos(x)sin(x) o, equivalentemente, -sin(2x).