Derivada De Una Función Elevada A Una Potencia Ejemplos

La derivada de una función elevada a una potencia es una regla fundamental del cálculo diferencial que nos permite encontrar la tasa de cambio de funciones del tipo f(x) = [g(x)]ⁿ, donde g(x) es una función cualquiera y n es una constante real. Esta regla es ampliamente utilizada en física, ingeniería y economía para modelar y optimizar procesos.

¿Cómo se calcula?

La regla de la potencia combinada con la regla de la cadena nos dice que si tenemos f(x) = [g(x)]ⁿ, entonces:

f'(x) = n * [g(x)]^(n-1) * g'(x)

En palabras sencillas:

• Baja el exponente (n) como un factor multiplicativo.
• Deja la función interna (g(x)) tal cual.
• Reduce el exponente en 1 (n-1).
• Multiplica por la derivada de la función interna (g'(x)).

Ejemplos Paso a Paso

Ejemplo 1: f(x) = (x² + 1)³

• g(x) = x² + 1, n = 3
• g'(x) = 2x
• f'(x) = 3 * (x² + 1)^(3-1) * 2x
• f'(x) = 3 * (x² + 1)² * 2x
• f'(x) = 6x * (x² + 1)²

Ejemplo 2: f(x) = √(3x + 2) = (3x + 2)^1/2

• g(x) = 3x + 2, n = 1/2
• g'(x) = 3
• f'(x) = (1/2) * (3x + 2)^{(1/2 - 1)} * 3
• f'(x) = (1/2) * (3x + 2)^(-1/2) * 3
• f'(x) = (3/2) * (3x + 2)^(-1/2) = 3 / (2√(3x + 2))

Ejemplo 3: f(x) = (sen(x))⁴

• g(x) = sen(x), n = 4
• g'(x) = cos(x)
• f'(x) = 4 * (sen(x))^(4-1) * cos(x)
• f'(x) = 4 * (sen(x))³ * cos(x)

Recuerda identificar correctamente la función interna g(x) y su derivada g'(x) para aplicar la regla correctamente. La práctica constante es la clave para dominar esta técnica.