¿Cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática? Es la pregunta que vamos a responder. Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde 'a', 'b' y 'c' son números, y 'a' no puede ser cero.
Las Posibles Soluciones Reales
Una ecuación cuadrática puede tener:
- Dos soluciones reales diferentes.
- Una solución real (o dos soluciones reales iguales).
- Ninguna solución real.
El Discriminante: La Clave
La clave para saber cuántas soluciones reales tiene una ecuación cuadrática está en el discriminante. El discriminante se calcula así: Δ = b2 - 4ac. El símbolo 'Δ' (delta) representa el discriminante.
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Caso 1: Discriminante Positivo (Δ > 0)
Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Esto significa que la parábola que representa la ecuación cruza el eje x en dos puntos diferentes.
Ejemplo: Considera la ecuación x2 - 5x + 6 = 0. Aquí, a = 1, b = -5, y c = 6. El discriminante es Δ = (-5)2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Como 1 > 0, hay dos soluciones reales.
Caso 2: Discriminante Igual a Cero (Δ = 0)
Si el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real (también se puede decir que tiene dos soluciones reales iguales). Esto significa que la parábola toca el eje x en un solo punto.
Ejemplo: Considera la ecuación x2 - 4x + 4 = 0. Aquí, a = 1, b = -4, y c = 4. El discriminante es Δ = (-4)2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. Como 0 = 0, hay una solución real.
Caso 3: Discriminante Negativo (Δ < 0)
Si el discriminante es menor que cero, la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que la parábola no cruza ni toca el eje x. Las soluciones serían números complejos.
Ejemplo: Considera la ecuación x2 + x + 1 = 0. Aquí, a = 1, b = 1, y c = 1. El discriminante es Δ = (1)2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3. Como -3 < 0, no hay soluciones reales.
Resumen
Para resumir:
- Δ > 0: Dos soluciones reales.
- Δ = 0: Una solución real.
- Δ < 0: Ninguna solución real.
