El primer paso es comprender la pregunta. ¿Qué es la ecuación de continuidad? ¿Por qué necesitamos coordenadas cilíndricas? ¿Qué se espera de la derivación?
Información Relevante
Necesitamos conocer la forma general de la ecuación de continuidad. También necesitamos comprender el sistema de coordenadas cilíndricas (r, θ, z). Además, necesitamos el concepto de flujo y densidad.
Recordemos: la ecuación de continuidad expresa la conservación de la masa. Las coordenadas cilíndricas son útiles para problemas con simetría cilíndrica. El flujo es la cantidad que pasa por unidad de área por unidad de tiempo. La densidad es la cantidad por unidad de volumen.
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Posibles Soluciones
Existen dos enfoques principales. El primero es un enfoque integral. El segundo es un enfoque diferencial.
El enfoque integral considera un volumen de control. La ecuación de continuidad se deduce del balance de masa en ese volumen. El enfoque diferencial considera un punto en el espacio. La ecuación de continuidad se deduce tomando el límite del volumen de control cuando tiende a cero.
Derivación: Enfoque Integral
Consideremos un elemento de volumen cilíndrico. Este tiene lados dr, rdθ y dz.
Calculamos el flujo de masa a través de cada cara del elemento de volumen. Consideremos primero el flujo a través de las caras r = constante y r + dr = constante.
El flujo a través de la cara interna (r = constante) es ρvr(r, θ, z)rdθdz. El flujo a través de la cara externa (r + dr = constante) es ρvr(r+dr, θ, z)(r+dr)dθdz.
La diferencia entre estos dos flujos es la acumulación de masa en el elemento de volumen debido al flujo radial. Esto se puede aproximar como la derivada parcial de (rρvr) con respecto a r, multiplicada por drdθdz.
De forma similar, calculamos los flujos en las direcciones θ y z. En la dirección θ, consideramos las caras θ = constante y θ + dθ = constante.
El flujo a través de la cara θ = constante es ρvθdrdz. El flujo a través de la cara θ + dθ = constante es ρvθdrdz evaluado en θ + dθ.
La diferencia en estos flujos contribuye a la acumulación de masa. Finalmente, consideramos las caras z = constante y z + dz = constante.
El flujo a través de la cara z = constante es ρvzrdrdθ. El flujo a través de la cara z + dz = constante es ρvzrdrdθ evaluado en z + dz.
La diferencia en estos flujos también contribuye a la acumulación de masa. La acumulación total de masa en el elemento de volumen debe ser igual a la tasa de cambio de la masa dentro del volumen. Esto es ∂ρ/∂t * rdrdθdz.
Igualando la acumulación total de masa al cambio de la masa dentro del volumen, y dividiendo por rdrdθdz, obtenemos la ecuación de continuidad.
La ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas es:
∂ρ/∂t + (1/r)∂/∂r(rρvr) + (1/r)∂/∂θ(ρvθ) + ∂/∂z(ρvz) = 0
Verificación
La ecuación resultante debe ser consistente dimensionalmente. Cada término debe tener las mismas unidades. Consultamos libros de texto y recursos en línea para comparar nuestra derivación con la forma estándar de la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas.
Finalmente, considera casos especiales. Por ejemplo, si el flujo es incompresible (ρ = constante), la ecuación debe simplificarse a la forma incompresible. Si el flujo es estacionario (∂ρ/∂t = 0), la ecuación debe simplificarse a la forma estacionaria.
