Continuidad Funciones Valor Absoluto Ejercicios Resueltos

Entender la continuidad de funciones con valor absoluto es crucial en cálculo. Una función es continua en un punto si su límite en ese punto existe, es finito y coincide con el valor de la función en ese punto. Las funciones con valor absoluto, al involucrar la función |x|, a menudo presentan cambios abruptos que requieren un análisis cuidadoso para determinar su continuidad. Se aplican en áreas como optimización, modelado de fenómenos físicos y análisis de señales.

¿Cómo abordar los ejercicios de continuidad con valor absoluto?

Aquí te presentamos una guía paso a paso con ejemplos prácticos:

• Paso 1: Identificar los puntos críticos. Estos son los puntos donde el argumento del valor absoluto se hace cero. Por ejemplo, en f(x) = |x - 2|, el punto crítico es x = 2. Estos puntos son los candidatos donde la continuidad podría fallar.
• Paso 2: Definir la función por tramos. El valor absoluto se define de forma diferente a cada lado del punto crítico. Siguiendo con el ejemplo, f(x) = |x - 2| se reescribe como:
  • f(x) = x - 2, si x ≥ 2
  • f(x) = -(x - 2), si x < 2
• Paso 3: Calcular los límites laterales. Calcula el límite de la función cuando x se acerca al punto crítico por la izquierda (x → c-) y por la derecha (x → c+). Para f(x) = |x - 2| en x = 2:
  • Límite por la izquierda: lim (x→2-) -(x - 2) = 0
  • Límite por la derecha: lim (x→2+) (x - 2) = 0
• Paso 4: Verificar la continuidad. Si los límites laterales existen y son iguales, y además coinciden con el valor de la función en el punto crítico, entonces la función es continua en ese punto. En nuestro ejemplo, f(2) = |2 - 2| = 0. Como los límites laterales son iguales a 0 y f(2) = 0, la función es continua en x = 2.

Ejemplo 2: Analiza la continuidad de g(x) = |x|/x en x = 0. Primero, definimos la función por tramos: g(x) = 1 si x > 0, y g(x) = -1 si x < 0. Calculamos los límites laterales en x = 0. El límite por la izquierda es -1 y el límite por la derecha es 1. Como los límites laterales son diferentes, la función no es continua en x = 0. Aunque g(0) no está definido, la discontinuidad persiste por los límites desiguales.

La clave para resolver estos ejercicios reside en aplicar correctamente la definición de valor absoluto y luego evaluar los límites laterales. ¡Practica y dominarás este concepto!