Vamos a resolver ejercicios de Cálculo Diferencial de Varias Variables. El objetivo es explicar cada paso con claridad.
Ejercicio 1: Derivadas Parciales
Consideremos la función: f(x, y) = x2y + xy3. Queremos calcular las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y.
Paso 1: Calcular ∂f/∂x. Tratamos 'y' como una constante. La derivada de x2y con respecto a x es 2xy.
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La derivada de xy3 con respecto a x es y3. Por lo tanto, ∂f/∂x = 2xy + y3.
Paso 2: Calcular ∂f/∂y. Tratamos 'x' como una constante. La derivada de x2y con respecto a y es x2.
La derivada de xy3 con respecto a y es 3xy2. Por lo tanto, ∂f/∂y = x2 + 3xy2.
En resumen, ∂f/∂x = 2xy + y3 y ∂f/∂y = x2 + 3xy2.
Ejercicio 2: Derivadas de Segundo Orden
Usaremos la función del ejercicio anterior: f(x, y) = x2y + xy3. Calcularemos las segundas derivadas parciales ∂2f/∂x2, ∂2f/∂y2, ∂2f/∂x∂y y ∂2f/∂y∂x.
Paso 1: Calcular ∂2f/∂x2. Ya sabemos que ∂f/∂x = 2xy + y3. Derivamos esto con respecto a x.
La derivada de 2xy con respecto a x es 2y. La derivada de y3 con respecto a x es 0. Entonces, ∂2f/∂x2 = 2y.
Paso 2: Calcular ∂2f/∂y2. Ya sabemos que ∂f/∂y = x2 + 3xy2. Derivamos esto con respecto a y.
La derivada de x2 con respecto a y es 0. La derivada de 3xy2 con respecto a y es 6xy. Entonces, ∂2f/∂y2 = 6xy.
Paso 3: Calcular ∂2f/∂x∂y. Primero calculamos ∂f/∂y = x2 + 3xy2. Ahora derivamos esto con respecto a x.
La derivada de x2 con respecto a x es 2x. La derivada de 3xy2 con respecto a x es 3y2. Entonces, ∂2f/∂x∂y = 2x + 3y2.
Paso 4: Calcular ∂2f/∂y∂x. Primero calculamos ∂f/∂x = 2xy + y3. Ahora derivamos esto con respecto a y.
La derivada de 2xy con respecto a y es 2x. La derivada de y3 con respecto a y es 3y2. Entonces, ∂2f/∂y∂x = 2x + 3y2.
Observamos que ∂2f/∂x∂y = ∂2f/∂y∂x. Este es el Teorema de Clairaut, que se cumple si las segundas derivadas parciales son continuas.
Ejercicio 3: Regla de la Cadena
Supongamos que z = f(x, y) = x2 + y2, donde x = t2 y y = 2t. Queremos encontrar dz/dt.
Paso 1: Aplicar la Regla de la Cadena. La regla de la cadena dice: dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt).
Paso 2: Calcular las derivadas parciales. ∂z/∂x = 2x y ∂z/∂y = 2y.
Paso 3: Calcular las derivadas dx/dt y dy/dt. dx/dt = 2t y dy/dt = 2.
Paso 4: Sustituir en la Regla de la Cadena. dz/dt = (2x)(2t) + (2y)(2) = 4xt + 4y.
Paso 5: Expresar en términos de t. Sustituimos x = t2 y y = 2t. Entonces, dz/dt = 4(t2)t + 4(2t) = 4t3 + 8t.
Por lo tanto, dz/dt = 4t3 + 8t.
Estos ejemplos muestran los pasos básicos para resolver ejercicios de Cálculo Diferencial de Varias Variables. Recuerda practicar con diferentes funciones y problemas.
