área Bajo La Gráfica De Una Función Ejercicios Resueltos

El área bajo la gráfica de una función, también conocido como el área delimitada por una curva, representa la región encerrada entre la gráfica de una función f(x), el eje x (o cualquier otra línea horizontal), y dos líneas verticales que definen un intervalo [a, b]. Calcular esta área tiene muchísimas aplicaciones prácticas, desde calcular distancias recorridas conociendo la velocidad variable, hasta determinar la probabilidad en estadística.

Una de las principales herramientas para calcular esta área es la integral definida. La integral definida de f(x) de a a b, denotada como ∫_a^b f(x) dx, representa precisamente el área bajo la curva de f(x) entre los puntos a y b.

¿Cómo calcular el área bajo la gráfica? Ejercicio resuelto paso a paso:

Vamos a calcular el área bajo la gráfica de la función f(x) = x² entre x = 1 y x = 3.

• Paso 1: Encontrar la integral indefinida. Necesitamos encontrar la antiderivada de f(x) = x². Recordemos que la integral de xⁿ es (xⁿ⁺¹)/(n+1). Por lo tanto, la integral indefinida de x² es (x³)/3 + C (donde C es la constante de integración, pero no es necesaria para integrales definidas).
• Paso 2: Evaluar la integral definida. Ahora, evaluamos la antiderivada en los límites de integración, b (3) y a (1), y restamos. Esto es, calculamos [(3³)/3] - [(1³)/3].
• Paso 3: Simplificar. (3³)/3 = 27/3 = 9. (1³)/3 = 1/3. Entonces, 9 - 1/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3.

Por lo tanto, el área bajo la gráfica de f(x) = x² entre x = 1 y x = 3 es 26/3 unidades cuadradas. Es importante notar que, si f(x) es negativa en parte del intervalo, la integral calculará un área negativa, que debe interpretarse con cuidado. Para obtener el área total, se debe calcular el área de cada sección donde f(x) es positiva o negativa por separado y luego sumar los valores absolutos.

Ejemplo 2: Calcular el área bajo la curva f(x) = 2x + 1 de x = 0 a x = 2. La integral indefinida es x² + x. Evaluando en los límites: [(2² + 2) - (0² + 0)] = 6. El área es 6 unidades cuadradas.

La clave está en comprender la integral definida como una suma continua de pequeños rectángulos, donde el ancho de cada rectángulo tiende a cero. Esta visualización ayuda a comprender la conexión entre la función y el área que representa.