Analicemos este sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.
Primero, identifiquemos las ecuaciones:
Ecuación 1: 5x + 7y = 1
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Ecuación 2: 3x + 4y = 24
El método de sustitución implica despejar una variable en una ecuación y luego sustituir esa expresión en la otra ecuación. Esa es la idea principal.
Paso 1: Despejar una Variable
Escojamos despejar x en la Ecuación 2. Parece más sencillo, aunque podemos elegir la que queramos.
La Ecuación 2 es: 3x + 4y = 24.
Restamos 4y de ambos lados: 3x = 24 - 4y.
Dividimos ambos lados entre 3: x = (24 - 4y) / 3. Esta es nuestra expresión para x.
Paso 2: Sustituir
Ahora, sustituimos esta expresión para x en la Ecuación 1.
La Ecuación 1 es: 5x + 7y = 1.
Sustituimos x: 5((24 - 4y) / 3) + 7y = 1.
Esto nos da una ecuación con solo una variable, y.
Paso 3: Resolver para y
Simplifiquemos la ecuación: (120 - 20y) / 3 + 7y = 1.
Multiplicamos todo por 3 para eliminar el denominador: 120 - 20y + 21y = 3.
Simplificamos: 120 + y = 3.
Restamos 120 de ambos lados: y = 3 - 120.
Por lo tanto, y = -117. Ya encontramos el valor de y.
Paso 4: Resolver para x
Ahora que tenemos el valor de y, podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales o en la expresión que encontramos para x.
Usemos la expresión para x: x = (24 - 4y) / 3.
Sustituimos y = -117: x = (24 - 4(-117)) / 3.
Simplificamos: x = (24 + 468) / 3.
x = 492 / 3.
Por lo tanto, x = 164. Ya encontramos el valor de x.
Paso 5: Verificar la Solución
Es crucial verificar nuestra solución. Sustituimos los valores de x e y en ambas ecuaciones originales.
Ecuación 1: 5x + 7y = 1.
5(164) + 7(-117) = 820 - 819 = 1. Correcto.
Ecuación 2: 3x + 4y = 24.
3(164) + 4(-117) = 492 - 468 = 24. Correcto.
Nuestra solución satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto, la solución es x = 164 e y = -117.
En resumen, hemos utilizado el método de sustitución para resolver este sistema de ecuaciones. Recordemos despejar una variable, sustituir, resolver y verificar.
